Kalkulus Contoh

$x \ln (3 y) = 5 x y^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x \ln (3 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y^{3})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (3 y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (3 y)] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 y$ .

$x (\frac{1}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gabungkan $\frac{1}{3 y}$ dan $x$ .

$\frac{x}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x}{3 y} (3 \frac{d}{d x} [y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{x}{3 y}$ .

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{x}{y} y' + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.5

Gabungkan $\frac{x}{y}$ dan $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \cdot 1$

Langkah 2.7

Kalikan $\ln (3 y)$ dengan $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Langkah 3.2

$5 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$5 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$5 (3 \cdot x y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Langkah 3.7

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Langkah 3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Terapkan sifat distributif.

$5 (3 x y^{2} y') + 5 y^{3}$

Langkah 3.8.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$15 x y^{2} y' + 5 y^{3}$

Langkah 3.8.3

Susun kembali suku-suku.

$5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) = 5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $15 y^{2} x y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1, 1$

Langkah 5.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ dengan $y$ .

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Langkah 5.3.2.1.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Pindahkan $y$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y \cdot y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y^{1} y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

Langkah 5.3.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{1 + 2} x y' = 5 y^{3} y$

Langkah 5.3.2.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

Langkah 5.3.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y'$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $y^{3}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan $y$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y \cdot y^{3})$

Langkah 5.3.3.1.2

Kalikan $y$ dengan $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y^{1} y^{3})$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{1 + 3}$

Langkah 5.3.3.1.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4}$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kurangkan $y \ln (3 y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $x y'$ dari $x y' - 15 y^{3} x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $x y'$ .

$x y' \cdot 1 - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Langkah 5.4.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $- 15 y^{3} x y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Langkah 5.4.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3})$ .

$x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Langkah 5.4.3

Bagi setiap suku pada $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ dengan $x (1 - 15 y^{3})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ dengan $x (1 - 15 y^{3})$ .

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Langkah 5.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Langkah 5.4.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Langkah 5.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - 15 y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Langkah 5.4.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Langkah 5.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$