Kalkulus Contoh

$2 x^{2} + 6 \ln (x y) = 15$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 6 \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (15)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} + 6 \ln (x y)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 \ln (x y)$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1))$

Langkah 2.3.6

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y))$

Langkah 2.3.7

Gabungkan $\frac{1}{x y}$ dan $6$ .

$4 x + \frac{6}{x y} (x y' + y)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$4 x + \frac{6}{x y} (x y') + \frac{6}{x y} y$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{6}{x y}$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6}{x y} y' + \frac{6}{x y} y$

Langkah 2.4.2.2

Gabungkan $\frac{x \cdot 6}{x y}$ dan $y'$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6 y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Langkah 2.4.2.3

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x$ .

$4 x + \frac{6 \cdot x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Langkah 2.4.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x + \frac{6 x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Langkah 2.4.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x y} y$

Langkah 2.4.2.5

Gabungkan $\frac{6}{x y}$ dan $y$ .

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Langkah 2.4.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Langkah 2.4.2.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x}$

Langkah 3

Karena $15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $15$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $4 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = - 4 x$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $\frac{6}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{6 y'}{y} = - 4 x - \frac{6}{x}$

Langkah 5.2

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Langkah 5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$6 y' = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan $(- 4 x - \frac{6}{x}) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$6 y' = - 4 x y - \frac{6}{x} y$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{6}{x}$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{y \cdot 6}{x}$

Langkah 5.3.2.1.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $y$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ dengan $6$ .

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 x y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Langkah 5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 (3)} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Langkah 5.4.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 \cdot 3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Langkah 5.4.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Langkah 5.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Langkah 5.4.3.1.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Langkah 5.4.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{6 y}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- 6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Langkah 5.4.3.1.4.2

Faktorkan $6$ dari $- 6 y$ .

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Langkah 5.4.3.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Langkah 5.4.3.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- y}{x}$

Langkah 5.4.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$