Kalkulus Contoh

$4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y = 2 x$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (y^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{2}{y^{2}} (y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.5

Gabungkan $y$ dan $\frac{2}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2}{y^{2}} y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.6

Gabungkan $\frac{y \cdot 2}{y^{2}}$ dan $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2 y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$12 x^{2} + \frac{2 \cdot y y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Faktorkan $y$ dari $2 y y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, y, 1, 1$

Langkah 5.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 5.2

Kalikan setiap suku pada $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan setiap suku dalam $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ dengan $y$ .

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$12 x^{2} y + 2 y' + 2 y' y = 2 y$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $12 x^{2} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y' + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' + 2 y' y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y'$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' y$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' \cdot 1 + 2 y' y$ .

$2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ dengan $2 (1 + y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ dengan $2 (1 + y)$ .

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Langkah 5.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Langkah 5.3.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Langkah 5.3.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Langkah 5.3.3.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 12 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Langkah 5.3.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Langkah 5.3.3.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 6 x^{2} y}{1 + y}$

Langkah 5.3.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y}{1 + y} - \frac{6 x^{2} y}{1 + y}$

Langkah 5.3.3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Langkah 5.3.3.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $y - 6 x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Langkah 5.3.3.3.2.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Langkah 5.3.3.3.2.2.3

Faktorkan $y$ dari $- 6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})}{1 + y}$

Langkah 5.3.3.3.2.2.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$