Kalkulus Contoh

$6 \sqrt{y^{3} + 1} - 2 x^{1.5} - 2 = 0$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y^{3} + 1}$ sebagai ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2 = 0$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = y^{3} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y^{3} + 1$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y^{3} + 1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.12

Tambahkan $3 y^{2} y'$ dan $0$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (3 y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.13

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.14

Gabungkan $3$ dan $\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 (\frac{3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.15

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 (\frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{2} y') + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.16

Gabungkan $\frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{2}$ dan $y'$ .

$6 \frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}) y'}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.17

Pindahkan ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{y^{2} \cdot 3 y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.18

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$6 \frac{3 \cdot y^{2} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.19

Gabungkan $6$ dan $\frac{3 y^{2} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 (3 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.20

Kalikan $3$ dengan $6$ .

$\frac{18 (y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.21

Faktorkan $2$ dari $18 y^{2} y'$ .

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.22

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.22.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 ({(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.22.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.22.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{1.5}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}]$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1.5$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 2 (1.5 x^{0.5}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.3.3

Kalikan $1.5$ dengan $- 2$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} + 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5}$ dan $0$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5}$

Langkah 4

Karena $0$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} = 0$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tambahkan $3 x^{0.5}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 3 x^{0.5}$

Langkah 6.2

Kalikan kedua ruas dengan ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4

Bagi setiap suku pada $9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $9 y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Bagilah setiap suku di $9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $9 y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Langkah 6.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Langkah 6.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Langkah 6.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{9 y^{2}}$

Langkah 6.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $9 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{3 (3 y^{2})}$

Langkah 6.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{3 (3 y^{2})}$

Langkah 6.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 y^{2}}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 y^{2}}$