Kalkulus Contoh

$\ln (y) = 7 x \ln (\sqrt{x})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = 7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (7 x \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$7 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.4

Gabungkan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$7 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.5

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$7 (x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.6

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$7 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.6.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$7 (x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.6.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$7 (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.6.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$7 (x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.6.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.8

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.9

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.11.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.13

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.14

Gabungkan $x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.15

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.15.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.15.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$7 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.15.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$7 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.15.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$7 (\frac{x^{0}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.16

Sederhanakan $x^{0}$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

Langkah 4.18

Kalikan $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ dengan $1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 4.19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.1

Terapkan sifat distributif.

$7 (\frac{1}{2}) + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 4.19.2

Gabungkan $7$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 4.19.3

Susun kembali suku-suku.

$7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{y'}{y} = 7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Langkah 6.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan $(7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Sederhanakan $7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $7$ ke dalam logaritma.

$y' = (\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{7}) + \frac{7}{2}) y$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 7}) + \frac{7}{2}) y$

Langkah 6.2.2.1.1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $7$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Langkah 6.2.2.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7}{2} y$

Langkah 6.2.2.1.2.2

Gabungkan $\frac{7}{2}$ dan $y$ .

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$

Langkah 6.2.2.1.2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$ .

$y' = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$