Kalkulus Contoh

$x = \frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y})$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $\frac{1}{27}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y^{3}}{27}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} (y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.5

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{3}{27}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3}{27} y' + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.6

Gabungkan $\frac{y^{2} \cdot 3}{27}$ dan $y'$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot y^{2} y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.8

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Faktorkan $3$ dari $3 y^{2} y'$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $\frac{9}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{9}{4 y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = y$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Langkah 3.3.5

Kalikan $y$ dengan $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Langkah 3.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Langkah 3.3.7

Kurangi $y'$ dengan $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{- y'}{y^{2}}$

Langkah 3.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} (- \frac{y'}{y^{2}})$

Langkah 3.3.9

Kalikan $\frac{9}{4}$ dengan $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = \frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$9, 4 y^{2}, 1$

Langkah 5.2.2

Since $9, 4 y^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}$ .

Langkah 5.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 5.2.4

$9$ memiliki faktor $3$ dan $3$ .

$3 \cdot 3$

Langkah 5.2.5

$4$ memiliki faktor $2$ dan $2$ .

$2 \cdot 2$

Langkah 5.2.6

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.2.7

KPK dari $9, 4, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Langkah 5.2.8

Kalikan $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.8.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3$

Langkah 5.2.8.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$12 \cdot 3$

Langkah 5.2.8.3

Kalikan $12$ dengan $3$ .

$36$

Langkah 5.2.9

Faktor-faktor untuk $y^{2}$ adalah $y \cdot y$ , yaitu $y$ dikalikan satu sama lain $2$ kali.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ terjadi $2$ kali.

Langkah 5.2.10

KPK dari $y^{2}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y \cdot y$

Langkah 5.2.11

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2}$

Langkah 5.2.12

KPK untuk $9, 4 y^{2}, 1$ adalah bagian bilangan $36$ dikalikan dengan bagian variabel.

$36 y^{2}$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ dengan $36 y^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ dengan $36 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} (36 y^{2}) - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$36 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Faktorkan $9$ dari $36$ .

$9 (4) \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \cdot 4 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (y^{2} y') y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.3.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$4 (y^{2} y^{2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 (y^{2 + 2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.3.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$4 (y^{4} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{9 y'}{4 y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.4.2

Faktorkan $4 y^{2}$ dari $36 y^{2}$ .

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} (9)) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} \cdot 9) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$4 y^{4} y' - 9 y' \cdot 9 = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.5

Kalikan $9$ dengan $- 9$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $36 y^{2}$ dengan $1$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 36 y^{2}$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $4 y^{4} y' - 81 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Faktorkan $y'$ dari $4 y^{4} y'$ .

$y' (4 y^{4}) - 81 y' = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.1.2

Faktorkan $y'$ dari $- 81 y'$ .

$y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81 = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.1.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81$ .

$y' (4 y^{4} - 81) = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.2

Tulis kembali $4 y^{4}$ sebagai ${(2 y^{2})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 81) = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali $81$ sebagai $9^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 9^{2}) = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2 y^{2}$ dan $b = 9$ .

$y' ((2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)) = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.5

Bagi setiap suku pada $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ dengan $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ dengan $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ .

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Langkah 5.4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{2} + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Langkah 5.4.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Langkah 5.4.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{2} - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Langkah 5.4.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$