Kalkulus Contoh

x = \frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}

$x = \frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y})

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y})$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

1

$1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}

$\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$ terhadap (Variabel1) adalah

\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2

Evaluasi

\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}]

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena

\frac{1}{27}

$\frac{1}{27}$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

\frac{y^{3}}{27}

$\frac{y^{3}}{27}$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = x^{3}$ dan

$g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$y$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah

$n u^{n - 1}$ di mana

$n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$y$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali

$\frac{d}{d x} [y]$ sebagai

$y'$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.4

Gabungkan

$3$ dan

$\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} (y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.5

Gabungkan

$y^{2}$ dan

$\frac{3}{27}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3}{27} y' + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.6

Gabungkan

$\frac{y^{2} \cdot 3}{27}$ dan

$y'$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.7

Pindahkan

$3$ ke sebelah kiri

$y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot y^{2} y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.8

Hapus faktor persekutuan dari

$3$ dan

$27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Faktorkan

$3$ dari

$3 y^{2} y'$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.1

Faktorkan

$3$ dari

$27$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.2.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Langkah 3.3

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena

$\frac{9}{4}$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$\frac{9}{4 y}$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana

$f (x) = 1$ dan

$g (x) = y$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3.3

Karena

$1$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$1$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali

$\frac{d}{d x} [y]$ sebagai

$y'$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Langkah 3.3.5

Kalikan

$y$ dengan

$0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Langkah 3.3.6

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Langkah 3.3.7

Kurangi

$y'$ dengan

$0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{- y'}{y^{2}}$

Langkah 3.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} (- \frac{y'}{y^{2}})$

Langkah 3.3.9

Kalikan

$\frac{9}{4}$ dengan

$\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = \frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Langkah 5

Selesaikan

$y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$9, 4 y^{2}, 1$

Langkah 5.2.2

Since

$9, 4 y^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part

$9, 4, 1$ then find LCM for the variable part

$y^{2}$ .

Langkah 5.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 5.2.4

$9$ memiliki faktor

$3$ dan

$3$ .

$3 \cdot 3$

Langkah 5.2.5

$4$ memiliki faktor

$2$ dan

$2$ .

$2 \cdot 2$

Langkah 5.2.6

Bilangan

$1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.2.7

KPK dari

$9, 4, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Langkah 5.2.8

Kalikan

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.8.1

Kalikan

$2$ dengan

$2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3$

Langkah 5.2.8.2

Kalikan

$4$ dengan

$3$ .

$12 \cdot 3$

Langkah 5.2.8.3

Kalikan

$12$ dengan

$3$ .

$36$

Langkah 5.2.9

Faktor-faktor untuk

$y^{2}$ adalah

$y \cdot y$ , yaitu

$y$ dikalikan satu sama lain

$2$ kali.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ terjadi

$2$ kali.

Langkah 5.2.10

KPK dari

$y^{2}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y \cdot y$

Langkah 5.2.11

Kalikan

$y$ dengan

$y$ .

$y^{2}$

Langkah 5.2.12

KPK untuk

$9, 4 y^{2}, 1$ adalah bagian bilangan

$36$ dikalikan dengan bagian variabel.

$36 y^{2}$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ dengan

$36 y^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ dengan

$36 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} (36 y^{2}) - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$36 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Faktorkan

$9$ dari

$36$ .

$9 (4) \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \cdot 4 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (y^{2} y') y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.3

Kalikan

$y^{2}$ dengan

$y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.3.1

Pindahkan

$y^{2}$ .

$4 (y^{2} y^{2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 (y^{2 + 2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.3.3

Tambahkan

$2$ dan

$2$ .

$4 (y^{4} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$4 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada

$- \frac{9 y'}{4 y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.4.2

Faktorkan

$4 y^{2}$ dari

$36 y^{2}$ .

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} (9)) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} \cdot 9) = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$4 y^{4} y' - 9 y' \cdot 9 = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.2.1.5

Kalikan

$9$ dengan

$- 9$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 1 (36 y^{2})$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan

$36 y^{2}$ dengan

$1$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 36 y^{2}$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan

$y'$ dari

$4 y^{4} y' - 81 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Faktorkan

$y'$ dari

$4 y^{4} y'$ .

$y' (4 y^{4}) - 81 y' = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.1.2

Faktorkan

$y'$ dari

$- 81 y'$ .

$y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81 = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.1.3

Faktorkan

$y'$ dari

$y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81$ .

$y' (4 y^{4} - 81) = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.2

Tulis kembali

$4 y^{4}$ sebagai

${(2 y^{2})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 81) = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali

$81$ sebagai

$9^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 9^{2}) = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana

$a = 2 y^{2}$ dan

$b = 9$ .

$y' ((2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)) = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$

Langkah 5.4.5

Bagi setiap suku pada

$y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ dengan

$(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.1

Bagilah setiap suku di

$y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ dengan

$(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ .

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Langkah 5.4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2 y^{2} + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Langkah 5.4.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Langkah 5.4.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$2 y^{2} - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Langkah 5.4.5.2.2.2

Bagilah

$y'$ dengan

$1$ .

$y' = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Langkah 6

Ganti

$y'$ dengan

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$