Kalkulus Contoh

$4 x^{2} y + 2 y^{3} = 1 + x y^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} y + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (1 + x y^{2})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} y + 2 y^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$4 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$4 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (3 y^{2} y')$

Langkah 2.3.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$4 (x^{2} y' + 2 y x) + 6 y^{2} y'$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$4 (x^{2} y') + 4 (2 y x) + 6 y^{2} y'$

Langkah 2.4.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$4 x^{2} y' + 8 y x + 6 y^{2} y'$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$4 x^{2} y' + 8 x y + 6 y^{2} y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Langkah 3.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$0 + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$0 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$0 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$0 + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

Langkah 3.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$0 + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

Langkah 3.2.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$0 + 2 x y y' + y^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tambahkan $0$ dan $2 x y y' + y^{2}$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Langkah 3.3.2

Susun kembali suku-suku.

$y^{2} + 2 x y y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$4 x^{2} y' + 8 x y + 6 y^{2} y' = y^{2} + 2 x y y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $2 x y y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x^{2} y' + 8 x y + 6 y^{2} y' - 2 x y y' = y^{2}$

Langkah 5.2

Kurangkan $8 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 x y y' = y^{2} - 8 x y$

Langkah 5.3

Faktorkan $2 y'$ dari $4 x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 x y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $2 y'$ dari $4 x^{2} y'$ .

$2 y' (2 x^{2}) + 6 y^{2} y' - 2 x y y' = y^{2} - 8 x y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $2 y'$ dari $6 y^{2} y'$ .

$2 y' (2 x^{2}) + 2 y' (3 y^{2}) - 2 x y y' = y^{2} - 8 x y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $2 y'$ dari $- 2 x y y'$ .

$2 y' (2 x^{2}) + 2 y' (3 y^{2}) + 2 y' (- x y) = y^{2} - 8 x y$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' (2 x^{2}) + 2 y' (3 y^{2})$ .

$2 y' (2 x^{2} + 3 y^{2}) + 2 y' (- x y) = y^{2} - 8 x y$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' (2 x^{2} + 3 y^{2}) + 2 y' (- x y)$ .

$2 y' (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y) = y^{2} - 8 x y$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $2 y' (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y) = y^{2} - 8 x y$ dengan $2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y) = y^{2} - 8 x y$ dengan $2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)$ .

$\frac{2 y' (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} + \frac{- 8 x y}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} + \frac{- 8 x y}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}{2 x^{2} + 3 y^{2} - x y} = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} + \frac{- 8 x y}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x^{2} + 3 y^{2} - x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}{2 x^{2} + 3 y^{2} - x y} = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} + \frac{- 8 x y}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} + \frac{- 8 x y}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 8 x y$ .

$y' = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} + \frac{2 (- 4 x y)}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} + \frac{2 (- 4 x y)}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} + \frac{- 4 x y}{2 x^{2} + 3 y^{2} - x y}$

Langkah 5.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} - \frac{4 x y}{2 x^{2} + 3 y^{2} - x y}$

Langkah 5.4.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{4 x y}{2 x^{2} + 3 y^{2} - x y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} - \frac{4 x y}{2 x^{2} + 3 y^{2} - x y} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 5.4.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1

Kalikan $\frac{4 x y}{2 x^{2} + 3 y^{2} - x y}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} - \frac{4 x y \cdot 2}{(2 x^{2} + 3 y^{2} - x y) \cdot 2}$

Langkah 5.4.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(2 x^{2} + 3 y^{2} - x y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{y^{2}}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)} - \frac{4 x y \cdot 2}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y^{2} - 4 x y \cdot 2}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2} - 4 x y \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.5.1.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - 4 x y \cdot 2}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.3.5.1.2

Faktorkan $y$ dari $- 4 x y \cdot 2$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 4 x \cdot 2)}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.3.5.1.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot y + y (- 4 x \cdot 2)$ .

$y' = \frac{y (y - 4 x \cdot 2)}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 5.4.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$y' = \frac{y (y - 8 x)}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 8 x)}{2 (2 x^{2} + 3 y^{2} - x y)}$