Kalkulus Contoh

$3 x + \ln (y) = x^{2} y^{5}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (3 x + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{5})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + \ln (y)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$3 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$3 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 + \frac{1}{y} y'$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $y'$ .

$3 + \frac{y'}{y}$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{y'}{y} + 3$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$5 \cdot x^{2} y^{4} \frac{d}{d x} [y] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x)$

Langkah 3.6

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{5}$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + 2 \cdot y^{5} x$

Langkah 3.6.2

Susun kembali suku-suku.

$5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{y'}{y} + 3 = 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $5 y^{4} x^{2} y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1, 1$

Langkah 5.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ dengan $y$ .

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Langkah 5.3.2.1.2

Kalikan $y^{4}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Pindahkan $y$ .

$y' + 3 y - 5 (y \cdot y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y' + 3 y - 5 (y^{1} y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Langkah 5.3.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' + 3 y - 5 y^{1 + 4} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Langkah 5.3.2.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $y^{5}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan $y$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y \cdot y^{5}) x$

Langkah 5.3.3.1.2

Kalikan $y$ dengan $y^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y^{1} y^{5}) x$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{1 + 5} x$

Langkah 5.3.3.1.3

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kurangkan $3 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $y' - 5 y^{5} x^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Langkah 5.4.2.2

Faktorkan $y'$ dari $- 5 y^{5} x^{2} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Langkah 5.4.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2})$ .

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Langkah 5.4.3

Bagi setiap suku pada $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ dengan $1 - 5 y^{5} x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ dengan $1 - 5 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Langkah 5.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - 5 y^{5} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Langkah 5.4.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Langkah 5.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 y^{6} x - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Langkah 5.4.3.3.2

Faktorkan $y$ dari $2 y^{6} x - 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $2 y^{6} x$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Langkah 5.4.3.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $- 3 y$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Langkah 5.4.3.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$