Kalkulus Contoh

$2 x^{3} - 5 x y^{2} = \cos (x y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} - 5 x y^{2}) = \frac{d}{d x} (\cos (x y))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} - 5 x y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$6 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$6 x^{2} - 5 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$6 x^{2} - 5 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$6 x^{2} - 5 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Langkah 2.3.7

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$6 x^{2} - 5 (2 x y y' + y^{2})$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$6 x^{2} - 5 (2 x y y') - 5 y^{2}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 5$ .

$6 x^{2} - 10 x y y' - 5 y^{2}$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Langkah 3.6.2

Susun kembali suku-suku.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y' = - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y' = - x y' \sin (x y) - y \sin (x y)$

Langkah 5.2

Tambahkan $x y' \sin (x y)$ ke kedua sisi persamaan.

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y' + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y)$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $6 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 5 y^{2} - 10 x y y' + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2}$

Langkah 5.3.2

Tambahkan $5 y^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$- 10 x y y' + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

Langkah 5.4

Faktorkan $x y'$ dari $- 10 x y y' + x y' \sin (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $x y'$ dari $- 10 x y y'$ .

$x y' (- 10 y) + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $x y'$ dari $x y' \sin (x y)$ .

$x y' (- 10 y) + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' (- 10 y) + x y' \sin (x y)$ .

$x y' (- 10 y + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $x y' (- 10 y + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$ dengan $x (- 10 y + \sin (x y))$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $x y' (- 10 y + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$ dengan $x (- 10 y + \sin (x y))$ .

$\frac{x y' (- 10 y + \sin (x y))}{x (- 10 y + \sin (x y))} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (- 10 y + \sin (x y))}{x (- 10 y + \sin (x y))} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (- 10 y + \sin (x y))}{- 10 y + \sin (x y)} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- 10 y + \sin (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- 10 y + \sin (x y))}{- 10 y + \sin (x y)} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $- 6 x^{2}$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{x (- 6 x)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{x (- 6 x)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x}{- 10 y + \sin (x y)} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (- 10 y + \sin (x y))$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.3.1

Kalikan $\frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x \cdot x}{(- 10 y + \sin (x y)) x} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(- 10 y + \sin (x y)) x$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x \cdot x}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 x \cdot x}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.5.1

Pindahkan $x$ .

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 (x \cdot x)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- y \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y)) - 6 x^{2} + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y)) - (6 x^{2}) + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (y \sin (x y)) - (6 x^{2})$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y) + 6 x^{2}) + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.10

Faktorkan $- 1$ dari $5 y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y) + 6 x^{2}) - (- 5 y^{2})}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.11

Faktorkan $- 1$ dari $- (y \sin (x y) + 6 x^{2}) - (- 5 y^{2})$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.12

Tulis kembali $- (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})$ sebagai $- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.13

Faktorkan $- 1$ dari $- 10 y$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- (10 y) + \sin (x y))}$

Langkah 5.5.3.14

Faktorkan $- 1$ dari $\sin (x y)$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- (10 y) - 1 (- \sin (x y)))}$

Langkah 5.5.3.15

Faktorkan $- 1$ dari $- (10 y) - 1 (- \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- (10 y - \sin (x y)))}$

Langkah 5.5.3.16

Tulis kembali $- (10 y - \sin (x y))$ sebagai $- 1 (10 y - \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 1 (10 y - \sin (x y)))}$

Langkah 5.5.3.17

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 1 (10 y - \sin (x y)))}$

Langkah 5.5.3.18

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2}}{x (10 y - \sin (x y))}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2}}{x (10 y - \sin (x y))}$