Kalkulus Contoh

$\frac{y}{y - x} = x^{2} - 1$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y y' - x y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.8.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.1.1

Kurangi $y y'$ dengan $y y'$ .

$\frac{- x y' + 0 - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.8.3.1.2

Tambahkan $- x y'$ dan $0$ .

$\frac{- x y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.8.3.2

Kalikan $- y \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x y' + 1 y}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.8.3.2.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{- x y' + y}{{(y - x)}^{2}}$

Langkah 2.8.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x y' + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Langkah 2.8.5

Faktorkan $- 1$ dari $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Langkah 2.8.6

Faktorkan $- 1$ dari $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Langkah 2.8.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Langkah 2.8.8

Tulis kembali $- (x y' - y)$ sebagai $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Langkah 2.8.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 3.4

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

Langkah 5.1.2.2

Bagilah $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = \frac{2 x}{- 1}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{2 x}{- 1}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 x)$

Langkah 5.1.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (2 x)$ sebagai $- (2 x)$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - (2 x)$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 2 x$

Langkah 5.2

Kalikan kedua ruas dengan ${(- x + y)}^{2}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(- x + y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Langkah 5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x y' - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Langkah 5.3.1.2

Susun kembali $x$ dan $y'$ .

$y' x - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Langkah 5.4

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $- 2 x {(- x + y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Tulis kembali.

$y' x - y = 0 + 0 - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Langkah 5.4.1.2

Tulis kembali ${(- x + y)}^{2}$ sebagai $(- x + y) (- x + y)$ .

$y' x - y = - 2 x ((- x + y) (- x + y))$

Langkah 5.4.1.3

Perluas $(- x + y) (- x + y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x + y) + y (- x + y))$

Langkah 5.4.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x + y))$

Langkah 5.4.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Langkah 5.4.1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.4.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Langkah 5.4.1.4.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.4.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Langkah 5.4.1.4.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Langkah 5.4.1.4.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y' x - y = - 2 x (1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Langkah 5.4.1.4.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Langkah 5.4.1.4.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y \cdot y)$

Langkah 5.4.1.4.1.6

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Langkah 5.4.1.4.2

Kurangi $y x$ dengan $- x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.4.2.1

Pindahkan $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - x y + y^{2})$

Langkah 5.4.1.4.2.2

Kurangi $x y$ dengan $- x y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Langkah 5.4.1.5

Terapkan sifat distributif.

$y' x - y = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Langkah 5.4.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.6.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.6.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Langkah 5.4.1.6.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.6.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Langkah 5.4.1.6.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' x - y = - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Langkah 5.4.1.6.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Langkah 5.4.1.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.6.2.1

Pindahkan $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Langkah 5.4.1.6.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x^{2} (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Langkah 5.4.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.7.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Langkah 5.4.1.7.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Langkah 5.4.2

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$

Langkah 5.4.3

Bagi setiap suku pada $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ dengan $x$ .

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.1.2.5

Bagilah $- 2 x^{2}$ dengan $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $4 x^{2} y$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x^{1}} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x y}{1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.2.2.5

Bagilah $4 x y$ dengan $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 5.4.3.3.1.3.2

Bagilah $- 2 y^{2}$ dengan $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$