Kalkulus Contoh

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 y$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - (2 x)$

Langkah 2.5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - 2 x$

Langkah 2.6

Susun kembali suku-suku.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y'$

Langkah 3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Langkah 5.2

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) - 5 y' = 2 x$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 y^{2}) + y' (2 y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y - 5) = 2 x$

Langkah 5.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ dan yang jumlahnya adalah $b = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$y' (3 y^{2} + 2 (y) - 5) = 2 x$

Langkah 5.3.1.1.2

Tulis kembali $2$ sebagai $- 3$ ditambah $5$

$y' (3 y^{2} + (- 3 + 5) y - 5) = 2 x$

Langkah 5.3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y' (3 y^{2} - 3 y + 5 y - 5) = 2 x$

Langkah 5.3.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$y' ((3 y^{2} - 3 y) + 5 y - 5) = 2 x$

Langkah 5.3.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$y' (3 y (y - 1) + 5 (y - 1)) = 2 x$

Langkah 5.3.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $y - 1$ .

$y' ((y - 1) (3 y + 5)) = 2 x$

Langkah 5.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ dengan $(y - 1) (3 y + 5)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ dengan $(y - 1) (3 y + 5)$ .

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$