Kalkulus Contoh

$\frac{x + 3}{y} = 4 x + y^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + 3}{y}) = \frac{d}{d x} (4 x + y^{2})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 3$ dan $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{y (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2.2.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{y (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{y \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{y - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{y - (x + 3) y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y + (- x - 1 \cdot 3) y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y - x y' - 1 \cdot 3 y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{y - x y' - 3 y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$4 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 + 2 y y'$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$2 y y' + 4$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} = 2 y y' + 4$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Langkah 5.2.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- x y' + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Langkah 5.2.1.1.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$- 1 y' x + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Pindahkan $y$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = (2 y y' + 4) y^{2}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $(2 y y' + 4) y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y y' y^{2} + 4 y^{2}$

Langkah 5.2.2.1.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y) y' + 4 y^{2}$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y^{1}) y' + 4 y^{2}$

Langkah 5.2.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{2 + 1} y' + 4 y^{2}$

Langkah 5.2.2.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{3} y' + 4 y^{2}$

Langkah 5.2.2.1.3

Pindahkan $y^{3}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $- 1 y'$ sebagai $- y'$ .

$- y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $2 y' y^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y' x - 3 y' + y - 2 y' y^{3} = 4 y^{2}$

Langkah 5.3.3

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $y'$ dari $- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $y'$ dari $- y' x$ .

$y' (- 1 x) - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Langkah 5.3.4.2

Faktorkan $y'$ dari $- 3 y'$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Langkah 5.3.4.3

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y' y^{3}$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Langkah 5.3.4.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 1 x) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Langkah 5.3.4.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (- 1 x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Langkah 5.3.6

Bagi setiap suku pada $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ dengan $- x - 3 - 2 y^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.1

Bagilah setiap suku di $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ dengan $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Langkah 5.3.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Langkah 5.3.6.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Langkah 5.3.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{4 y^{2} - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Langkah 5.3.6.3.2

Faktorkan $y$ dari $4 y^{2} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $4 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (4 y) - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Langkah 5.3.6.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y' = \frac{y (4 y) + y \cdot - 1}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Langkah 5.3.6.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (4 y) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Langkah 5.3.6.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 3 - 2 y^{3}}$

Langkah 5.3.6.3.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 1 (3) - 2 y^{3}}$

Langkah 5.3.6.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - 2 y^{3}}$

Langkah 5.3.6.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - (2 y^{3})}$

Langkah 5.3.6.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (x + 3) - (2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3 + 2 y^{3})}$

Langkah 5.3.6.3.8

Tulis kembali negatifnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.3.8.1

Tulis kembali $- (x + 3 + 2 y^{3})$ sebagai $- 1 (x + 3 + 2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- 1 (x + 3 + 2 y^{3})}$

Langkah 5.3.6.3.8.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$