Kalkulus Contoh

$x^{2} + x y - y^{3} = x y^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y - y^{3}) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x y - y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x + x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 x + x y' + y - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + x y' + y - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + x y' + y - (3 y^{2} y')$

Langkah 2.3.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$2 x + x y' + y - 3 y^{2} y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$x y' - 3 y^{2} y' + 2 x + y$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Langkah 3.6.2

Susun kembali suku-suku.

$y^{2} + 2 x y y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x y' - 3 y^{2} y' + 2 x + y = y^{2} + 2 x y y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $2 x y y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' - 3 y^{2} y' + 2 x + y - 2 x y y' = y^{2}$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' - 3 y^{2} y' + y - 2 x y y' = y^{2} - 2 x$

Langkah 5.2.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' - 3 y^{2} y' - 2 x y y' = y^{2} - 2 x - y$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $x y' - 3 y^{2} y' - 2 x y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $x y'$ .

$y' x - 3 y^{2} y' - 2 x y y' = y^{2} - 2 x - y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (- 3 y^{2}) - 2 x y y' = y^{2} - 2 x - y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $- 2 x y y'$ .

$y' (x) + y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 x y) = y^{2} - 2 x - y$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (x) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (x - 3 y^{2}) + y' (- 2 x y) = y^{2} - 2 x - y$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (x - 3 y^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x - 3 y^{2} - 2 x y) = y^{2} - 2 x - y$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (x - 3 y^{2} - 2 x y) = y^{2} - 2 x - y$ dengan $x - 3 y^{2} - 2 x y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (x - 3 y^{2} - 2 x y) = y^{2} - 2 x - y$ dengan $x - 3 y^{2} - 2 x y$ .

$\frac{y' (x - 3 y^{2} - 2 x y)}{x - 3 y^{2} - 2 x y} = \frac{y^{2}}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- 2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 3 y^{2} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x - 3 y^{2} - 2 x y)}{x - 3 y^{2} - 2 x y} = \frac{y^{2}}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- 2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- 2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y^{2}}{x - 3 y^{2} - 2 x y} - \frac{2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} + \frac{- y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Langkah 5.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y^{2}}{x - 3 y^{2} - 2 x y} - \frac{2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} - \frac{y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Langkah 5.4.3.2

Gabungkan menjadi satu pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x}{x - 3 y^{2} - 2 x y} - \frac{y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Langkah 5.4.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y^{2} - 2 x - y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2 x - y}{x - 3 y^{2} - 2 x y}$