Kalkulus Contoh

$x^{2} - y^{3} = 5 x^{2} y - 2 x y^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} y - 2 x y^{3})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 x - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - (3 y^{2} y')$

Langkah 2.2.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$2 x - 3 y^{2} y'$

Langkah 2.3

Susun kembali suku-suku.

$- 3 y^{2} y' + 2 x$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{2} y - 2 x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Langkah 3.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{3}$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Langkah 3.3.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Langkah 3.3.7

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) - 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Langkah 3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) - 2 (3 x y^{2} y') - 2 y^{3}$

Langkah 3.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$5 x^{2} y' + 10 (y x) - 2 (3 x y^{2} y') - 2 y^{3}$

Langkah 3.4.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$5 x^{2} y' + 10 y x - 6 x y^{2} y' - 2 y^{3}$

Langkah 3.4.4

Susun kembali suku-suku.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 3 y^{2} y' + 2 x = - 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $y'$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' = - 3 y^{2} y' + 2 x$

Langkah 5.2

Tambahkan $3 y^{2} y'$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tambahkan $2 y^{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3}$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $10 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 x^{2} y' - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Langkah 5.4

Faktorkan $y'$ dari $5 x^{2} y' - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $5 x^{2} y'$ .

$y' (5 x^{2}) - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $- 6 y^{2} x y'$ .

$y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x) + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Langkah 5.4.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x)$ .

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Langkah 5.4.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ dengan $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ dengan $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2})}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{- 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{- 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} - \frac{10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x + 2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} - \frac{10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x + 2 y^{3} - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.4

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x) + 2 y^{3} - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.4.2

Faktorkan $2$ dari $2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (x) + 2 (y^{3}) - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.4.3

Faktorkan $2$ dari $- 10 x y$ .

$y' = \frac{2 (x) + 2 (y^{3}) + 2 (- 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.4.4

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (y^{3})$ .

$y' = \frac{2 (x + y^{3}) + 2 (- 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.4.5

Faktorkan $2$ dari $2 (x + y^{3}) + 2 (- 5 x y)$ .

$y' = \frac{2 (x + y^{3} - 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + y^{3} - 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$