Kalkulus Contoh

$y = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + 8}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{r^{2} + 8}$ sebagai ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{r}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d r} (y) = \frac{d}{d r} (\frac{r}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $r$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ adalah $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ di mana $f (r) = r$ dan $g (r) = {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{1}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.4.2

Kalikan ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ adalah $f' (g (r)) g' (r)$ di mana $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ dan $g (r) = r^{2} + 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $r^{2} + 8$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $r^{2} + 8$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.10.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{{(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.10.3

Pindahkan ${(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.10.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8]}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.11

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $r^{2} + 8$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [8]$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [8])}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.13

Karena $8$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $8$ terhadap $r$ adalah $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0)}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.14

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.1

Tambahkan $2 r$ dan $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r)}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.14.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.14.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.14.4

Gabungkan $\frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r \cdot r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.15

Naikkan $r$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r)}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.16

Naikkan $r$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r^{1})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.17

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{1 + 1}}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.18

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{2}}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.19

Faktorkan $2$ dari $- 2 r^{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.20

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.20.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 ({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.20.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.20.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.21

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.22

Untuk menuliskan ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.23

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.24

Kalikan ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.24.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.24.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.24.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.24.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.25

Sederhanakan ${(r^{2} + 8)}^{1}$ .

$\frac{\frac{r^{2} + 8 - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.26

Kurangi $r^{2}$ dengan $r^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.27

Tambahkan $0$ dan $8$ .

$\frac{\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.28

Tulis kembali $\frac{\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$ sebagai hasil kali.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 8}$

Langkah 4.29

Kalikan $\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{r^{2} + 8}$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 8)}$

Langkah 4.30

Kalikan ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $r^{2} + 8$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.30.1

Kalikan ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $r^{2} + 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.30.1.1

Naikkan $r^{2} + 8$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{1}}$

Langkah 4.30.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Langkah 4.30.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Langkah 4.30.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Langkah 4.30.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d r}$ .

$\frac{d y}{d r} = \frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$