Kalkulus Contoh

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(5 t^{2} - 4 t)}^{2})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $t$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{2}$ dan $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 t^{2} - 4 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 t^{2} - 4 t$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 t^{2} - 4 t$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Langkah 3.2.2

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $5 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Langkah 3.2.4

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Langkah 3.2.5

Karena $- 4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 4 t$ terhadap $t$ adalah $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

Langkah 3.2.7

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Langkah 3.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

Langkah 3.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ .

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

Langkah 3.3.4

Perluas $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Langkah 3.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Langkah 3.3.4.3

Terapkan sifat distributif.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5.1.2

Kalikan $t$ dengan $t^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.2.1

Pindahkan $t^{2}$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5.1.2.2

Kalikan $t^{2}$ dengan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.2.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5.1.3

Kalikan $10$ dengan $10$ .

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5.1.5

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.5.1

Pindahkan $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5.1.5.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5.1.6

Kalikan $10$ dengan $- 8$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5.1.7

Kalikan $10$ dengan $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

Langkah 3.3.5.1.8

Kalikan $- 8$ dengan $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

Langkah 3.3.5.2

Kurangi $40 t^{2}$ dengan $- 80 t^{2}$ .

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$