Kalkulus Contoh

$y = \cot^{2} (\cos^{4} (t))$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cot^{2} (\cos^{4} (t)))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $t$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{2}$ dan $g (t) = \cot (\cos^{4} (t))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\cot (\cos^{4} (t))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\cot (\cos^{4} (t))$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \cot (t)$ dan $g (t) = \cos^{4} (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\cos^{4} (t)$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\cot (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\cos^{4} (t)$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) (\csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{4}$ dan $g (t) = \cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $\cos (t)$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ adalah $n {u_{3}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $\cos (t)$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 \cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Langkah 3.5

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Langkah 3.6

Turunan dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $- \sin (t)$ .

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) (- \sin (t))$

Langkah 3.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$

Langkah 3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Susun kembali faktor-faktor dari $8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$ .

$8 \cos^{3} (t) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Langkah 3.8.2

Tulis kembali $\csc (\cos^{4} (t))$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$8 \cos^{3} (t) {(\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))})}^{2} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Langkah 3.8.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))}$ .

$8 \cos^{3} (t) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Langkah 3.8.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Langkah 3.8.5

Kalikan $8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.5.1

Gabungkan $\frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ dan $8$ .

$\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cos^{3} (t) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Langkah 3.8.5.2

Gabungkan $\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ dan $\cos^{3} (t)$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Langkah 3.8.6

Tulis kembali $\cot (\cos^{4} (t))$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cdot \frac{\cos (\cos^{4} (t))}{\sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Langkah 3.8.7

Gabungkan.

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Langkah 3.8.8

Kalikan $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ dengan $\sin (\cos^{4} (t))$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.8.1

Kalikan $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ dengan $\sin (\cos^{4} (t))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.8.1.1

Naikkan $\sin (\cos^{4} (t))$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin^{1} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Langkah 3.8.8.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{{\sin (\cos^{4} (t))}^{2 + 1}} \sin (t)$

Langkah 3.8.8.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Langkah 3.8.9

Gabungkan $\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ dan $\sin (t)$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Langkah 3.8.10

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Langkah 3.8.11

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t)) \cdot 1}$

Langkah 3.8.12

Pisahkan pecahan.

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} \cdot \frac{\cos^{3} (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Langkah 3.8.13

Konversikan dari $\frac{1}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ ke $\csc^{3} (\cos^{4} (t))$ .

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

Langkah 3.8.14

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$\frac{8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

Langkah 3.8.15

Bagilah $8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)$ dengan $1$ .

$8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$