Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10})$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{1}{3 x^{3}}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = 1$ dan $g (y) = x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{3}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.6

Kalikan $x^{3}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.8

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 3 (x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.9

Kurangi $3 x^{2} x'$ dengan $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.10

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.10.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{x^{6}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.11.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 3 x^{2} x'$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{6}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.11.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{6}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x'}{x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} (- \frac{3 x'}{x^{4}}) + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.13

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{3 x'}{x^{4}}$ .

$- \frac{3 x'}{3 x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.14

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.14.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3 x'}{3 x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.2.14.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $\frac{1}{10}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x^{7}}{10}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{10} \frac{d}{d y} [x^{7}]$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} \frac{d}{d y} [x^{7}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{7}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6} \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6} x')$

Langkah 3.3.4

Gabungkan $7$ dan $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{7}{10} (x^{6} x')$

Langkah 3.3.5

Gabungkan $x^{6}$ dan $\frac{7}{10}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{x^{6} \cdot 7}{10} x'$

Langkah 3.3.6

Gabungkan $\frac{x^{6} \cdot 7}{10}$ dan $x'$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{x^{6} \cdot 7 x'}{10}$

Langkah 3.3.7

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $x^{6}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{7 x^{6} x'}{10}$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = \frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}}$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ .

$\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$10, x^{4}, 1$

Langkah 5.2.2

Karena $10, x^{4}, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $10, 1, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $x^{4}$ .

Langkah 5.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 5.2.4

$10$ memiliki faktor $2$ dan $5$ .

$2 \cdot 5$

Langkah 5.2.5

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.2.6

KPK dari $10, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2 \cdot 5$

Langkah 5.2.7

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$10$

Langkah 5.2.8

Faktor-faktor untuk $x^{4}$ adalah $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , yaitu $x$ dikalikan satu sama lain $4$ kali.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ terjadi $4$ kali.

Langkah 5.2.9

KPK dari $x^{4}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Langkah 5.2.10

Sederhanakan $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.10.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Langkah 5.2.10.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.10.2.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.10.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Langkah 5.2.10.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Langkah 5.2.10.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Langkah 5.2.10.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.10.3.1

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.10.3.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Langkah 5.2.10.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{3 + 1}$

Langkah 5.2.10.3.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$x^{4}$

Langkah 5.2.11

KPK untuk $10, x^{4}, 1$ adalah bagian bilangan $10$ dikalikan dengan bagian variabel.

$10 x^{4}$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ dengan $10 x^{4}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ dengan $10 x^{4}$ .

$\frac{7 x^{6} x'}{10} (10 x^{4}) - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$10 \frac{7 x^{6} x'}{10} x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$10 \frac{7 x^{6} x'}{10} x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$7 x^{6} x' x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.2.1.3

Kalikan $x^{6}$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.3.1

Pindahkan $x^{4}$ .

$7 (x^{4} x^{6}) x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.2.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$7 x^{4 + 6} x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.2.1.3.3

Tambahkan $4$ dan $6$ .

$7 x^{10} x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x'}{x^{4}}$ ke dalam pembilangnya.

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.2.1.4.2

Faktorkan $x^{4}$ dari $10 x^{4}$ .

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (x^{4} \cdot 10) = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (x^{4} \cdot 10) = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$7 x^{10} x' - x' \cdot 10 = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.2.1.5

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$7 x^{10} x' - 10 x' = 1 (10 x^{4})$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $10 x^{4}$ dengan $1$ .

$7 x^{10} x' - 10 x' = 10 x^{4}$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $x'$ dari $7 x^{10} x' - 10 x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Faktorkan $x'$ dari $7 x^{10} x'$ .

$x' (7 x^{10}) - 10 x' = 10 x^{4}$

Langkah 5.4.1.2

Faktorkan $x'$ dari $- 10 x'$ .

$x' (7 x^{10}) + x' \cdot - 10 = 10 x^{4}$

Langkah 5.4.1.3

Faktorkan $x'$ dari $x' (7 x^{10}) + x' \cdot - 10$ .

$x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$

Langkah 5.4.2

Bagi setiap suku pada $x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$ dengan $7 x^{10} - 10$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Bagilah setiap suku di $x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$ dengan $7 x^{10} - 10$ .

$\frac{x' (7 x^{10} - 10)}{7 x^{10} - 10} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Langkah 5.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7 x^{10} - 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (7 x^{10} - 10)}{7 x^{10} - 10} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Langkah 5.4.2.2.1.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$