Kalkulus Contoh

$y = e^{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 4.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 4.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.9

Gabungkan $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.10

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$