Kalkulus Contoh

$y = \frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \cot (x)$ dan $g (x) = 1 + \csc (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.2

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \csc (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.4

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.5

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.5.2

Kalikan $\cot (x)$ dengan $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.6

Naikkan $\cot (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.7

Naikkan $\cot (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.1

Faktorkan $\csc (x)$ dari $1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.1.1

Faktorkan $\csc (x)$ dari $1 (- \csc^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.1.2

Faktorkan $\csc (x)$ dari $\cot^{2} (x) \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.1.3

Faktorkan $\csc (x)$ dari $\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.1.4

Faktorkan $\csc (x)$ dari $\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.6.1

Kalikan $- \csc (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.7

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- \csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.9

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\csc (x)$ .

$\frac{- \csc (x) \csc (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.10

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.10.1

Kalikan $- \csc (x) \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.10.1.1

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.10.1.2

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.10.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- {\csc (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.10.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.2.10.2

Tulis kembali $- 1 \csc (x)$ sebagai $- \csc (x)$ .

$\frac{- \csc^{2} (x) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.1

Faktorkan $\csc (x)$ dari $- \csc^{2} (x) - \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.1.1

Faktorkan $\csc (x)$ dari $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.3.1.2

Faktorkan $\csc (x)$ dari $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.3.1.3

Faktorkan $\csc (x)$ dari $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \csc (x) - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.3.2.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (\csc (x)) - 1 (1)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) + 1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

$\frac{\csc (x) \cdot - 1 (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.3.3

Buang faktor negatif.

$\frac{- \csc (x) (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.4

Hapus faktor persekutuan dari $\csc (x) + 1$ dan ${(1 + \csc (x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.4.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- \csc (x) (1 + \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.4.2

Faktorkan $1 + \csc (x)$ dari $- \csc (x) (1 + \csc (x))$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Langkah 3.10.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.4.3.1

Faktorkan $1 + \csc (x)$ dari ${(1 + \csc (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Langkah 3.10.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Langkah 3.10.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Langkah 3.10.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$