Kalkulus Contoh

$\ln (x y) = x + y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.6.2.2

Gabungkan $\frac{x}{x y}$ dan $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.6.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x y}$ dan $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Langkah 2.6.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Langkah 2.6.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 + y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 1 + y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' = 1$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, x, 1, 1$

Langkah 5.2.2

Since $y, x, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Langkah 5.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 5.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.2.5

KPK dari $1, 1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 5.2.6

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.2.7

Faktor untuk $x^{1}$ adalah $x$ itu sendiri.

$x^{1} = x$

$x$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.2.8

KPK dari $y^{1}, x^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y x$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' = 1$ dengan $y x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' = 1$ dengan $y x$ .

$\frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$\frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Langkah 5.3.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' x + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Langkah 5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $y x$ .

$y' x + \frac{1}{x} (x y) - y' (y x) = 1 (y x)$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' x + \frac{1}{x} (x y) - y' (y x) = 1 (y x)$

Langkah 5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' x + y - y' (y x) = 1 (y x)$

$y' x + y - y' y x = 1 (y x)$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $y x$ dengan $1$ .

$y' x + y - y' y x = y x$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' x - y' y x = y x - y$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y' x$ dari $y' x - y' y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Faktorkan $y' x$ dari $y' x$ .

$y' x \cdot 1 - y' y x = y x - y$

Langkah 5.4.2.2

Faktorkan $y' x$ dari $- y' y x$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y) = y x - y$

Langkah 5.4.2.3

Faktorkan $y' x$ dari $y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y)$ .

$y' x (1 - 1 y) = y x - y$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$y' x (1 - y) = y x - y$

Langkah 5.4.4

Bagi setiap suku pada $y' x (1 - y) = y x - y$ dengan $x (1 - y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Bagilah setiap suku di $y' x (1 - y) = y x - y$ dengan $x (1 - y)$ .

$\frac{y' x (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' x (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (1 - y)}{1 - y} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 - y)}{1 - y} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y}{1 - y} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y}{1 - y} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.3.2

Untuk menuliskan $\frac{y}{1 - y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(1 - y) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.3.3.1

Kalikan $\frac{y}{1 - y}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y x}{(1 - y) x} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(1 - y) x$ .

$y' = \frac{y x}{x (1 - y)} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y x - y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.3.5

Faktorkan $y$ dari $y x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$y' = \frac{y (x) - y}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.3.5.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y' = \frac{y (x) + y \cdot - 1}{x (1 - y)}$

Langkah 5.4.4.3.5.3

Faktorkan $y$ dari $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x - 1)}{x (1 - y)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 1)}{x (1 - y)}$