Kalkulus Contoh

$x y = e^{x y - 1}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (e^{x y - 1})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x y' + y$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y - 1]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y - 1]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y - 1$ .

$e^{x y - 1} \frac{d}{d x} [x y - 1]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x y - 1} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 3.3

$e^{x y - 1} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 3.6

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y + 0)$

Langkah 3.8

Tambahkan $x y' + y$ dan $0$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y' + y)$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $e^{x y - 1} (x y' + y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali.

$x y' + y = 0 + 0 + e^{x y - 1} (x y' + y)$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y' + y)$

Langkah 5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y') + e^{x y - 1} y$

Langkah 5.1.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x y - 1} (x y') + e^{x y - 1} y$ .

$x y' + y = x y' e^{x y - 1} + y e^{x y - 1}$

Langkah 5.2

Kurangkan $x y' e^{x y - 1}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' + y - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1}$

Langkah 5.3

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1} - y$

Langkah 5.4

Faktorkan $x y'$ dari $x y' - x y' e^{x y - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $x y'$ dari $x y'$ .

$x y' \cdot 1 - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1} - y$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $x y'$ dari $- x y' e^{x y - 1}$ .

$x y' \cdot 1 + x y' (- 1 e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' \cdot 1 + x y' (- 1 e^{x y - 1})$ .

$x y' (1 - 1 e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

Langkah 5.5

Tulis kembali $- 1 e^{x y - 1}$ sebagai $- e^{x y - 1}$ .

$x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

Langkah 5.6

Bagi setiap suku pada $x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$ dengan $x (1 - e^{x y - 1})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Bagilah setiap suku di $x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$ dengan $x (1 - e^{x y - 1})$ .

$\frac{x y' (1 - e^{x y - 1})}{x (1 - e^{x y - 1})} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (1 - e^{x y - 1})}{x (1 - e^{x y - 1})} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (1 - e^{x y - 1})}{1 - e^{x y - 1}} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - e^{x y - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 - e^{x y - 1})}{1 - e^{x y - 1}} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y e^{x y - 1} - y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.3.2

Faktorkan $y$ dari $y e^{x y - 1} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $y e^{x y - 1}$ .

$y' = \frac{y (e^{x y - 1}) - y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y' = \frac{y (e^{x y - 1}) + y \cdot - 1}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (e^{x y - 1}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (e^{x y - 1} - 1)}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $e^{x y - 1} - 1$ dan $1 - e^{x y - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $e^{x y - 1}$ .

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1}) - 1)}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.3.3.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1}) - 1 (1))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- e^{x y - 1}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1} + 1))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.3.3.4

Susun kembali suku-suku.

$y' = \frac{y (- 1 (1 - e^{x y - 1}))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.3.3.5

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y (- 1 (1 - e^{x y - 1}))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Langkah 5.6.3.3.6

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Langkah 5.6.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.4.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Langkah 5.6.3.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y}{x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$