Kalkulus Contoh

$y = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 3.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 3.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 3.5.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 3.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 3.6.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 3.6.3

Pindahkan ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 3.9

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2 \cdot 1)$

Langkah 3.11

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2)$

Langkah 3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.12.2

Kalikan $2 x + 2$ dengan $\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x + 2}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.12.3

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.12.3.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.12.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$