Kalkulus Contoh

$y = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + \frac{1}{x}$ dan $g (x) = x - \frac{1}{x}$ .

$(x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}] + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \frac{1}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$(x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Langkah 3.4.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Langkah 3.4.3.2

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Langkah 3.4.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Langkah 3.4.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Langkah 3.4.5.2

Tambahkan $1 + x^{- 2}$ dan $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Langkah 3.4.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{1}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Langkah 3.4.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Langkah 3.4.8

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Langkah 3.4.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Langkah 3.5.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5.3

Susun kembali suku-suku.

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Perluas $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.1

Terapkan sifat distributif.

$1 (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.1.2

Terapkan sifat distributif.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.2.1.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.2.1.4

Gabungkan.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.2.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.5.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.5.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x^{1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.2.1.5.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2 + 1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.2.1.5.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.2.1.6

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.2.2

Tambahkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$x + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.4

Perluas $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.4.1

Terapkan sifat distributif.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 (x - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.4.2

Terapkan sifat distributif.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.4.3

Terapkan sifat distributif.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.5.1.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.5.1.2

Kalikan $- \frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.5.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.5.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.5.1.3.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.5.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.5.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.5.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Langkah 3.5.4.5.1.5

Kalikan $- \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.5.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x^{2}} \frac{1}{x}$

Langkah 3.5.4.5.1.5.2

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 3.5.4.5.1.5.3

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x}$

Langkah 3.5.4.5.1.5.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.5.1.5.4.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.5.1.5.4.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x^{1}}$

Langkah 3.5.4.5.1.5.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2 + 1}}$

Langkah 3.5.4.5.1.5.4.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 3.5.4.5.2

Kurangi $\frac{1}{x}$ dengan $- \frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 3.5.4.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.6.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 3.5.4.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 3.5.5

Gabungkan suku balikan dalam $x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Kurangi $\frac{2}{x}$ dengan $\frac{2}{x}$ .

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + 0 + \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 3.5.5.2

Tambahkan $x + \frac{1}{x^{3}} + x$ dan $0$ .

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 3.5.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x + x + \frac{1 + 1}{x^{3}}$

Langkah 3.5.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x + x + \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 3.5.8

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$