Kalkulus Contoh

$y = (4 x^{2} - e^{2 x}) \sin (3 x)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((4 x^{2} - e^{2 x}) \sin (3 x))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 4 x^{2} - e^{2 x}$ dan $g (x) = \sin (3 x)$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $3 x$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 x$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) (3 \cdot 1) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Langkah 3.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x)$ .

$3 \cdot ((4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Langkah 3.3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} - e^{2 x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Langkah 3.3.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Langkah 3.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Langkah 3.3.7

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Langkah 3.3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Langkah 3.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x} \cdot 1)$

Langkah 3.5.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$(3 (4 x^{2}) + 3 (- e^{2 x})) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Langkah 3.6.2

Terapkan sifat distributif.

$3 (4 x^{2}) \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Langkah 3.6.3

Terapkan sifat distributif.

$3 (4 x^{2}) \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Langkah 3.6.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$12 x^{2} \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Langkah 3.6.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Langkah 3.6.5

Susun kembali suku-suku.

$12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$