Kalkulus Contoh

$y = 4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 x {(3 x - 9)}^{- 4})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(3 x - 9)}^{- 4}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{- 4}] + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 4}$ dan $g (x) = 3 x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x - 9$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 4$ .

$4 (x (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - 9$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.5

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.6.2

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \cdot 1)$

Langkah 3.4.8

Kalikan ${(3 x - 9)}^{- 4}$ dengan $1$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4})$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5})) + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.2

Kalikan $- 12$ dengan $4$ .

$- 48 x {(3 x - 9)}^{- 5} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 x - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.2.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 9$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.2.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 (x - 3)$ .

$- 48 x \frac{1}{3^{5} {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$- 48 x \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 48 x$ .

$3 (- 16 x) \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.3.2

Faktorkan $3$ dari $243 {(x - 3)}^{5}$ .

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 16 x \frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.4

Gabungkan $- 16$ dan $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}}$ .

$x \frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}}$ .

$\frac{x \cdot - 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.6

Pindahkan $- 16$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{- 16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Langkah 3.5.3.8

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x - 9)}^{4}}$

Langkah 3.5.3.9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.9.1

Faktorkan $3$ dari $3 x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.9.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{4}}$

Langkah 3.5.3.9.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 9$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{4}}$

Langkah 3.5.3.9.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{4}}$

Langkah 3.5.3.9.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 (x - 3)$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{3^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.5.3.9.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Langkah 3.5.3.10

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$