Kalkulus Contoh

$y = \ln (\sqrt{x})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 4.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 4.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.9

Kalikan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Langkah 4.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.10.2

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.11

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 4.11.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Langkah 4.11.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Langkah 4.11.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.11.1.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Langkah 4.11.2

Sederhanakan $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{1}{2 x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x}$