Kalkulus Contoh

$y = 9 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = 9 e^{x} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 e^{x} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 e^{x} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [9 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$9 e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Langkah 4.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$9 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$9 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Langkah 4.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$9 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Langkah 4.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$9 e^{x} + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Langkah 4.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{3}}$ .

$9 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Langkah 4.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$9 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Langkah 4.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Langkah 4.3.5.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 2$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Langkah 4.3.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Langkah 4.3.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Langkah 4.3.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Langkah 4.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Langkah 4.3.9.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Langkah 4.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Langkah 4.3.11

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Langkah 4.3.12

Gabungkan $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ dan $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Langkah 4.3.13

Kalikan $x^{- \frac{2}{3}}$ dengan $x^{- \frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.13.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Langkah 4.3.13.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Langkah 4.3.13.3

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Langkah 4.3.13.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Langkah 4.3.14

Pindahkan $x^{- \frac{4}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 e^{x} + 4 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Langkah 4.3.15

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$9 e^{x} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 4.3.16

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$9 e^{x} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 4.3.17

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$9 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 9 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$