Kalkulus Contoh

$y = x \sqrt{5 - x^{2}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5 - x^{2}}$ sebagai ${(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 5 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.7.3

Pindahkan ${(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.7.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}] + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.9

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.13

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.13.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.13.3

Gabungkan $\frac{- 2 x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.14

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.15

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.16

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.17

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.18

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.19

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.19.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.19.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{2}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.21

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 4.22

Kalikan ${(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.23

Untuk menuliskan ${(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.24

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{2} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.25

Kalikan ${(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.25.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- x^{2} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.25.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{2} + {(5 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.25.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(5 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.25.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(5 - x^{2})}^{1}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.26

Sederhanakan ${(5 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 5 - x^{2}}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.27

Kurangi $x^{2}$ dengan $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.28

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 2 x^{2} + 5}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{- 2 x^{2} + 5}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x^{2} + 5}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$