Kalkulus Contoh

$y = x y + y^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y + y^{3})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + y^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.2.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x y' + y + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x y' + y + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y'$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$x y' + 3 y^{2} y' + y$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = x y' + 3 y^{2} y' + y$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $y'$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$x y' + 3 y^{2} y' + y = y'$

Langkah 5.2

Kurangkan $y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' + 3 y^{2} y' + y - y' = 0$

Langkah 5.3

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' + 3 y^{2} y' - y' = - y$

Langkah 5.4

Faktorkan $y'$ dari $x y' + 3 y^{2} y' - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $x y'$ .

$y' x + 3 y^{2} y' - y' = - y$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (3 y^{2}) - y' = - y$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (x) + y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - y$

Langkah 5.4.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (x + 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - y$

Langkah 5.4.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (x + 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$ dengan $x + 3 y^{2} - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$ dengan $x + 3 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (x + 3 y^{2} - 1)}{x + 3 y^{2} - 1} = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 3 y^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x + 3 y^{2} - 1)}{x + 3 y^{2} - 1} = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x + 3 y^{2} - 1}$