Kalkulus Contoh

$e^{4 x} + e^{- x}$

Langkah 1

Tulis $e^{4 x} + e^{- x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{4 x} + e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 2.1.3.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Langkah 2.1.3.6

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Langkah 3.2

Pindahkan $- e^{- x}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkannya ke kedua sisinya.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali $\ln (4 e^{4 x})$ sebagai $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Langkah 3.4.2

Perluas $\ln (e^{4 x})$ dengan memindahkan $4 x$ ke luar logaritma.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Langkah 3.4.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Langkah 3.4.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Langkah 3.5

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Perluas $\ln (e^{- x})$ dengan memindahkan $- x$ ke luar logaritma.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Langkah 3.5.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Langkah 3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Langkah 3.6

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Langkah 3.6.2

Tambahkan $4 x$ dan $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Langkah 3.7

Kurangkan $\ln (4)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 x = - \ln (4)$

Langkah 3.8

Bagi setiap suku pada $5 x = - \ln (4)$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Bagilah setiap suku di $5 x = - \ln (4)$ dengan $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Langkah 3.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Langkah 3.8.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Langkah 3.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- \frac{\ln (4)}{5}$ .

$- \frac{\ln (4)}{5}$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.27725887$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ .

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$- 3.56262674$

Langkah 6.4

Pada $x = - 1.27725887$ , turunannya adalah $- 3.56262674$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ .

Menurun pada $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.72274112$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

Langkah 7.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ .

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$71.55727104$

Langkah 7.4

Pada $x = 0.72274112$ , turunannya adalah $71.55727104$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

Meningkat pada $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$

Langkah 9