Kalkulus Contoh

$y = \arccos (\frac{1}{1 + x^{2}})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arccos (x)$ dan $g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\arccos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Langkah 2

Tulis kembali $\frac{1}{1 + x^{2}}$ sebagai ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Langkah 4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Langkah 4.2.2

Gabungkan ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ dan $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 4.2.3

Pindahkan ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 4.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (2 x)$

Langkah 4.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} x$

Langkah 4.7.2

Gabungkan $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Langkah 5.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Langkah 5.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Langkah 5.4.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Langkah 5.4.4

Tulis kembali $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Langkah 5.4.4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1 + x^{2}$ dan $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 1) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Langkah 5.4.4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.3.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Langkah 5.4.4.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Langkah 5.4.4.3.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Langkah 5.4.5

Tulis kembali $\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ sebagai ${(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.1

Faktorkan kuadrat sempurna $x^{2}$ dari $(x^{2} + 2) x^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Langkah 5.4.5.2

Faktorkan kuadrat sempurna ${(x^{2} + 1)}^{2}$ dari ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}}}$

Langkah 5.4.5.3

Susun kembali pecahan $\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)}}$

Langkah 5.4.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Langkah 5.4.7

Gabungkan $\frac{x}{x^{2} + 1}$ dan $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Langkah 5.5

Gabungkan ${(1 + x^{2})}^{2}$ dan $\frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Langkah 5.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(1 + x^{2})}^{2}$ dan $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 x}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Langkah 5.6.1.2

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari ${(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Langkah 5.6.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.3.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Langkah 5.6.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Langkah 5.6.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}{1}}$

Langkah 5.6.1.3.4

Bagilah $(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}$ dengan $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Langkah 5.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x}{(x^{2} x + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Langkah 5.6.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} x^{1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Langkah 5.6.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x}{(x^{2 + 1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Langkah 5.6.3.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Langkah 5.6.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Langkah 5.6.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x}{x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Langkah 5.6.6

Faktorkan $x \sqrt{x^{2} + 2}$ dari $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.6.1

Faktorkan $x \sqrt{x^{2} + 2}$ dari $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Langkah 5.6.6.2

Faktorkan $x \sqrt{x^{2} + 2}$ dari $x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)}$

Langkah 5.6.6.3

Faktorkan $x \sqrt{x^{2} + 2}$ dari $x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Langkah 5.7

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Langkah 5.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Langkah 5.8

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ dengan $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Langkah 5.9

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ dengan $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Langkah 5.9.2

Pindahkan $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Langkah 5.9.3

Naikkan $\sqrt{x^{2} + 2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Langkah 5.9.4

Naikkan $\sqrt{x^{2} + 2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

Langkah 5.9.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.9.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

Langkah 5.9.7

Tulis kembali ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ sebagai $x^{2} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 2}$ sebagai ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.9.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.9.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.9.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.9.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

Langkah 5.9.7.5

Sederhanakan.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$