Kalkulus Contoh

$y = \ln (\arctan (3 x^{4}))$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \arctan (3 x^{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = 3 x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Langkah 2.2

Turunan dari $\arctan (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {(3 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {(3 (x^{4}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Langkah 3.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 (x^{4})$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Langkah 3.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{4})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Langkah 3.2.1.3.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Langkah 3.2.2

Kalikan $\frac{1}{1 + 9 x^{8}}$ dengan $\frac{1}{\arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Langkah 3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 3.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} (4 x^{3})$

Langkah 3.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} x^{3}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{12}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} x^{3}$

Langkah 3.6.3

Gabungkan $\frac{12}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{12 x^{3}}{1 \arctan (3 x^{4}) + 9 x^{8} \arctan (3 x^{4})}$

Langkah 4.2

Kalikan $\arctan (3 x^{4})$ dengan $1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) + 9 x^{8} \arctan (3 x^{4})}$

Langkah 4.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{12 x^{3}}{9 x^{8} \arctan (3 x^{4}) + \arctan (3 x^{4})}$

Langkah 4.4

Faktorkan $\arctan (3 x^{4})$ dari $9 x^{8} \arctan (3 x^{4}) + \arctan (3 x^{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Faktorkan $\arctan (3 x^{4})$ dari $9 x^{8} \arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4})}$

Langkah 4.4.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4}) \cdot 1}$

Langkah 4.4.3

Faktorkan $\arctan (3 x^{4})$ dari $\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4}) \cdot 1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8} + 1)}$