Kalkulus Contoh

$y = \ln (\sqrt[3]{3 x})$

Langkah 1

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{3 x}$ sebagai ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 x)}^{\frac{1}{3}})]$

Langkah 1.2

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{\frac{1}{3}})]$

Langkah 1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $3^{\frac{1}{3}}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} (3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $3^{\frac{1}{3}}$ dan $\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Langkah 7.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Langkah 8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 10

Kalikan $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ dengan $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Langkah 11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.2

Pindahkan $x^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 12

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $x^{\frac{1}{3}}$ dengan $x^{\frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Langkah 12.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Langkah 12.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Langkah 12.1.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 12.1.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3 x^{1}}$

Langkah 12.2

Sederhanakan $3 x^{1}$ .

$\frac{1}{3 x}$