Kalkulus Contoh

$y = {(2 x - 1)}^{3} {(x + 7)}^{- 3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = {(2 x - 1)}^{3}$ dan $g (x) = {(x + 7)}^{- 3}$ .

${(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 3}] + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 3}$ dan $g (x) = x + 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x + 7$ .

${(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + 7$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Langkah 3.3

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (1 + 0)) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Langkah 3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} \cdot 1) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Langkah 3.4.2

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (3 {(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${(x + 7)}^{- 3}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 \cdot {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 5.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 5.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 5.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 + 0)$

Langkah 5.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} \cdot 2$

Langkah 5.7.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 6 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2}$

Langkah 6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Langkah 6.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{{(x + 7)}^{4}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} \frac{- 3}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Langkah 6.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

${(2 x - 1)}^{3} (- \frac{3}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Langkah 6.3.3

Gabungkan ${(2 x - 1)}^{3}$ dan $\frac{3}{{(x + 7)}^{4}}$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{3} \cdot 3}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Langkah 6.3.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${(2 x - 1)}^{3}$ .

$- \frac{3 \cdot {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Langkah 6.3.5

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{{(x + 7)}^{3}}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

Langkah 6.3.6

Gabungkan $\frac{6}{{(x + 7)}^{3}}$ dan ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$

Langkah 6.3.7

Untuk menuliskan $\frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Langkah 6.3.8

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari ${(x + 7)}^{4}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.8.1

Kalikan $\frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$ dengan $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3} (x + 7)}$

Langkah 6.3.8.2

Kalikan ${(x + 7)}^{3}$ dengan $x + 7$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.8.2.1

Kalikan ${(x + 7)}^{3}$ dengan $x + 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.8.2.1.1

Naikkan $x + 7$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3} {(x + 7)}^{1}}$

Langkah 6.3.8.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3 + 1}}$

Langkah 6.3.8.2.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 3 {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $3 {(2 x - 1)}^{2}$ dari $- 3 {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Faktorkan $3 {(2 x - 1)}^{2}$ dari $- 3 {(2 x - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4.1.2

Faktorkan $3 {(2 x - 1)}^{2}$ dari $6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 3 {(2 x - 1)}^{2} (2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4.1.3

Faktorkan $3 {(2 x - 1)}^{2}$ dari $3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 3 {(2 x - 1)}^{2} (2 (x + 7))$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1) + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x) - - 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x - - 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 x + 2 \cdot 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4.6

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 x + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4.7

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (0 + 1 + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4.8

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (1 + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4.9

Tambahkan $1$ dan $14$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} \cdot 15}{{(x + 7)}^{4}}$

Langkah 6.4.10

Kalikan $15$ dengan $3$ .

$\frac{45 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{4}}$