Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{4} \cdot \arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})$

Langkah 1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{4} \cdot \arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Langkah 2.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}) \cdot 4} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Langkah 3.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Langkah 3.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} (4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Langkah 3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})}$ .

$\frac{4}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Langkah 3.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Langkah 3.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 + 5 \cos (x)$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + 5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 5

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + 5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + 5 \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 6.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 6.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 6.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (5 \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 6.5

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - 5 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 7

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - 5 \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 8

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13

Kalikan $\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}}$ dengan $\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{{(4 \sin (x))}^{2}}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \sin (x)$ .

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Kalikan $5 \cos (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.4.1.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.4.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 \cos (x) + 5 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.4.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.4.2

Faktorkan $5$ dari $5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.4.3

Faktorkan $5$ dari $5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x)) + 5 (\sin^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.4.4

Faktorkan $5$ dari $5 (\cos^{2} (x)) + 5 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.4.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.4.6

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cdot 1}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.4.7

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.5

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5}{(1 + \frac{16 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Langkah 14.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5 + 3 \cos (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2} (1 + \frac{16 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}})}$