Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{\sec (4 x)}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\sec (4 x)}$ sebagai ${\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \sec (4 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sec (4 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Langkah 4.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Langkah 4.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Langkah 4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Langkah 4.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Langkah 4.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Langkah 4.6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Langkah 4.6.3

Pindahkan ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Langkah 4.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $4 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Langkah 4.7.2

Turunan dari $\sec (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Langkah 4.7.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $4 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Langkah 4.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Gabungkan $\sec (4 x)$ dan $\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Langkah 4.8.2

Gabungkan $\tan (4 x)$ dan $\frac{\sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (4 x) \sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 4.8.3

Pindahkan ${\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\tan (4 x) \sec (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 4.9

Kalikan $\sec (4 x)$ dengan ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Pindahkan ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\tan (4 x) ({\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (4 x))}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 4.9.2

Kalikan ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ dengan $\sec (4 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.1

Naikkan $\sec (4 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\tan (4 x) ({\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (4 x))}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 4.9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 4.9.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 4.9.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 4.9.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 4.10

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.11.2

Faktorkan $2$ dari $4 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.12.4

Bagilah $2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 4.14

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.14.2

Susun kembali faktor-faktor dari $2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$