Kalkulus Contoh

y = ln ({(x)}^{ln (x)})

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

y = ln (x^{ln (x)})

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

Langkah 3

Turunan dari

$y$ terhadap

$x$ adalah

$y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = \ln (x)$ dan

$g (x) = x^{\ln (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u_{1}$ sebagai

$x^{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari

$\ln (u_{1})$ terhadap

$u_{1}$ adalah

$\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan

$u_{1}$ dengan

$x^{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Langkah 4.2

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis kembali

$x^{\ln (x)}$ sebagai

$e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Langkah 4.2.2

Perluas

$\ln (x^{\ln (x)})$ dengan memindahkan

$\ln (x)$ ke luar logaritma.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Langkah 4.3

Naikkan

$\ln (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Langkah 4.4

Naikkan

$\ln (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Langkah 4.5

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Langkah 4.6

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Langkah 4.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = e^{x}$ dan

$g (x) = \ln^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u_{2}$ sebagai

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Langkah 4.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah

$a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)=

$e$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Langkah 4.7.3

Ganti semua kemunculan

$u_{2}$ dengan

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Langkah 4.8

Gabungkan

$e^{\ln^{2} (x)}$ dan

$\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Langkah 4.9

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = x^{2}$ dan

$g (x) = \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u_{3}$ sebagai

$\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 4.9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ adalah

$n {u_{3}}^{n - 1}$ di mana

$n = 2$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 4.9.3

Ganti semua kemunculan

$u_{3}$ dengan

$\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 4.10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Gabungkan

$2$ dan

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 4.10.2

Gabungkan

$\ln (x)$ dan

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 4.11

Turunan dari

$\ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 4.12

Kalikan

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ dengan

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

Langkah 4.13

Kalikan

$x^{\ln (x)}$ dengan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.1

Naikkan

$x$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

Langkah 4.13.2

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Langkah 4.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Langkah 4.14.2

Sederhanakan

$2 \ln (x)$ dengan memindahkan

$2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Langkah 4.14.3

Susun kembali faktor-faktor dalam

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Langkah 6

Ganti

$y'$ dengan

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$