Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ tidak terdefinisi.

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 2

Asimtot tegak terjadi pada daerah diskontinuitas tanpa batas.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Langkah 3

Evaluasi $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 3.1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 3.1.1.2.2

Karena fungsi $e^{x}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $2$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $2$ dihapus.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 3.1.1.2.2.2

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 3.1.1.2.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.3.1

Evaluasi limit dari $6$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 3.1.1.2.3.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$\frac{\infty - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 3.1.1.2.3.2.2

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 3.1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 3.1.1.3.2

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 3.1.1.3.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

Langkah 3.1.1.3.4

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 3.1.1.3.5

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 3.1.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 3.1.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Langkah 3.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Langkah 3.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 e^{x} - 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Langkah 3.1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Langkah 3.1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Langkah 3.1.3.4

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Langkah 3.1.3.5

Tambahkan $2 e^{x}$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Langkah 3.1.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.1.3.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 0}$

Langkah 3.1.3.9

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Langkah 3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Langkah 3.1.4.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$2$

Langkah 4

Evaluasi $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 4.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 4.1.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 4.2

Karena eksponen $x$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 4.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Evaluasi limit dari $6$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Langkah 4.3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

Langkah 4.4

Karena eksponen $x$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

Langkah 4.5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Langkah 4.5.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$\frac{0 - 6}{0 + 1}$

Langkah 4.5.2.1.3

Kurangi $6$ dengan $0$ .

$\frac{- 6}{0 + 1}$

Langkah 4.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{- 6}{1}$

Langkah 4.5.2.3

Bagilah $- 6$ dengan $1$ .

$- 6$

Langkah 5

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = 2, - 6$

Langkah 6

Tidak ada asimtot miring karena pangkat dari pembilangnya lebih kecil dari atau sama dengan pangkat dari penyebutnya.

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Asimtot Datar: $y = 2, - 6$

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 8