Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$ tidak terdefinisi.

$x = - \frac{5}{2}$

Langkah 2

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 3

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Langkah 4

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 5

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6^{2}}{2 x + 5}$

Langkah 5.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 6$ .

$\frac{(x + 6) (x - 6)}{2 x + 5}$

Langkah 5.2

Perluas $(x + 6) (x - 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x - 6) + 6 (x - 6)}{2 x + 5}$

Langkah 5.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 (x - 6)}{2 x + 5}$

Langkah 5.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Langkah 5.2.4

Susun kembali $x$ dan $- 6$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Langkah 5.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Langkah 5.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Langkah 5.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{1 + 1} - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Langkah 5.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6}{2 x + 5}$

Langkah 5.2.9

Kalikan $6$ dengan $- 6$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 6 x - 36}{2 x + 5}$

Langkah 5.2.10

Tambahkan $- 6 x$ dan $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 36}{2 x + 5}$

Langkah 5.2.11

Kurangi $36$ dengan $0$ .

$\frac{x^{2} - 36}{2 x + 5}$

Langkah 5.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$36$

Langkah 5.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$

Langkah 5.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{5 x}{2}$

Langkah 5.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + \frac{5 x}{2}$

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$

Langkah 5.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$

Langkah 5.8

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$

Langkah 5.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- \frac{5 x}{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$

Langkah 5.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$

Langkah 5.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- \frac{5 x}{2} - \frac{25}{4}$

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{25}{4}$

Langkah 5.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$36$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{5 x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$36$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{25}{4}$
							-	$\frac{119}{4}$

Langkah 5.13

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{x}{2} - \frac{5}{4} - \frac{119}{4 (2 x + 5)}$

Langkah 5.14

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Langkah 6

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - \frac{5}{2}$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Langkah 7