Kalkulus Contoh

\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}

$\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan

$\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ tidak terdefinisi.

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 2

Asimtot tegak terjadi pada daerah diskontinuitas tanpa batas.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Langkah 3

Evaluasi

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari

$x$ dalam penyebut, yaitu

$x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.2.2

Bagilah

$2$ dengan

$1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika

$x$ mendekati

$\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

$x$ mendekati

$\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.5

Evaluasi limit dari

$3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$\infty$ .

$\frac{3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.2.6

Pindahkan suku

$2$ ke luar limit karena konstan terhadap

$x$ .

$\frac{3 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan

$\frac{1}{x}$ mendekati

$0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

$x$ mendekati

$\infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.4.3

Evaluasi limit dari

$2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$\infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 3.5

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan

$\frac{1}{x^{2}}$ mendekati

$0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + 0}}$

Langkah 3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Kalikan

$- 2$ dengan

$0$ .

$\frac{3 + 0}{\sqrt{2 + 0}}$

Langkah 3.6.1.2

Tambahkan

$3$ dan

$0$ .

$\frac{3}{\sqrt{2 + 0}}$

Langkah 3.6.2

Tambahkan

$2$ dan

$0$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.6.3

Kalikan

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ dengan

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.6.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.1

Kalikan

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ dengan

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 3.6.4.2

Naikkan

$\sqrt{2}$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 3.6.4.3

Naikkan

$\sqrt{2}$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 3.6.4.4

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.6.4.5

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 3.6.4.6

Tulis kembali

${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.6.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{2}$ sebagai

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.6.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.6.4.6.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.6.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.6.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 3.6.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4

Evaluasi

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari

$x$ dalam penyebut, yaitu

$x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.2.2

Bagilah

$2$ dengan

$1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika

$x$ mendekati

$- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

$x$ mendekati

$- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.5

Evaluasi limit dari

$3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$- \infty$ .

$\frac{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.2.6

Pindahkan suku

$2$ ke luar limit karena konstan terhadap

$x$ .

$\frac{3 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan

$\frac{1}{x}$ mendekati

$0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Pindahkan suku

$- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap

$x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.4.2

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.4.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

$x$ mendekati

$- \infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.4.4

Evaluasi limit dari

$2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$- \infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 4.5

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan

$\frac{1}{x^{2}}$ mendekati

$0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

Langkah 4.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.1

Kalikan

$- 2$ dengan

$0$ .

$\frac{3 + 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

Langkah 4.6.1.2

Tambahkan

$3$ dan

$0$ .

$\frac{3}{- \sqrt{2 + 0}}$

Langkah 4.6.2

Tambahkan

$2$ dan

$0$ .

$\frac{3}{- \sqrt{2}}$

Langkah 4.6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.6.4

Kalikan

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ dengan

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Langkah 4.6.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.5.1

Kalikan

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ dengan

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 4.6.5.2

Naikkan

$\sqrt{2}$ menjadi pangkat

$1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 4.6.5.3

Naikkan

$\sqrt{2}$ menjadi pangkat

$1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 4.6.5.4

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 4.6.5.5

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 4.6.5.6

Tulis kembali

${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.5.6.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{2}$ sebagai

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.6.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.6.5.6.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.6.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.6.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 4.6.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 5

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 6

Gunakan pembagian polinomial untuk menentukan asimtot miring. Karena pernyataan ini memuat akar, maka pembagian polinomial tidak dapat dilakukan.

Tidak Dapat Mencari Asimtot Miring

Langkah 7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Asimtot Datar:

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Tidak Dapat Mencari Asimtot Miring

Langkah 8