Kalkulus Contoh

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$ , $0 < x < 2 π$

Langkah 1

Kurangkan $\cos^{2} (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 2

Ganti $3 \sin^{2} (x)$ dengan $3 (1 - \cos^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 3.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 4

Kurangi $\cos^{2} (x)$ dengan $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 5

Susun ulang polinomial tersebut.

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Langkah 6

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $\cos^{2} (x)$ dengan $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Langkah 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Langkah 9

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{3}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 9.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 10

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 10.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 10.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 11

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 12

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 12.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Langkah 12.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Langkah 12.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 12.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 12.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 12.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.3.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Langkah 12.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Langkah 12.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 12.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 12.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 12.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 12.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 13

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 13.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Langkah 13.3

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Langkah 13.4

Sederhanakan $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Langkah 13.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Langkah 13.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Langkah 13.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.3.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Langkah 13.4.3.2

Kurangi $5 π$ dengan $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 13.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 13.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 13.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 13.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 13.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 14

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15

Gabungkan penyelesaiannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{π}{6} + 2 π n$ dan $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ menjadi $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15.2

Gabungkan $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ dan $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ menjadi $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16

Temukan nilai-nilai dari $n$ yang menghasilkan nilai dengan interval $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{π}{6} + π (0)$

Langkah 16.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.1

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Langkah 16.1.2.2

Tambahkan $\frac{π}{6}$ dan $0$ .

$\frac{π}{6}$

Langkah 16.1.3

Interval $(0, 2 π)$ memuat $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Langkah 16.2

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

Langkah 16.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.2.1

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Langkah 16.2.2.2

Tambahkan $\frac{5 π}{6}$ dan $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Langkah 16.2.3

Interval $(0, 2 π)$ memuat $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Langkah 16.3

Masukkan $1$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Masukkan $1$ untuk $n$ .

$\frac{π}{6} + π (1)$

Langkah 16.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{π}{6} + π$

Langkah 16.3.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Langkah 16.3.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Langkah 16.3.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

Langkah 16.3.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.4.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

Langkah 16.3.2.4.2

Tambahkan $π$ dan $6 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Langkah 16.3.3

Interval $(0, 2 π)$ memuat $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Langkah 16.4

Masukkan $1$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $(0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Masukkan $1$ untuk $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

Langkah 16.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.2.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{5 π}{6} + π$

Langkah 16.4.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Langkah 16.4.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.2.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Langkah 16.4.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

Langkah 16.4.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.2.4.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

Langkah 16.4.2.4.2

Tambahkan $5 π$ dan $6 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Langkah 16.4.3

Interval $(0, 2 π)$ memuat $\frac{11 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$