Kalkulus Contoh

$y = 2 x - x^{2}$

Langkah 1

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Susun kembali $2 x$ dan $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Langkah 1.1.2

Selesaikan kuadrat dari $- x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Langkah 1.1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.2.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{1}{- 1}$

Langkah 1.1.2.3.2.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.2.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 1.1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.3

Bagilah $4$ dengan $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Langkah 1.1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Langkah 1.1.2.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$e = 1$

Langkah 1.1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(x - 1)}^{2} + 1$

Langkah 1.1.3

Aturlah $y$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$y = - {(x - 1)}^{2} + 1$

Langkah 1.2

Gunakan bentuk directrix, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

Langkah 1.3

Karena nilai $a$ adalah negatif, maka parabola membuka ke bawah.

Membuka ke Bawah

Langkah 1.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(1, 1)$

Langkah 1.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 1.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.3

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{4}$

Langkah 1.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat y $k$ jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$(h, k + p)$

Langkah 1.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(1, \frac{3}{4})$

Langkah 1.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$x = 1$

Langkah 1.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Garis arah parabola adalah garis datar yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat y $k$ dari verteks jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$y = k - p$

Langkah 1.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$y = \frac{5}{4}$

Langkah 1.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(1, 1)$

Fokus: $(1, \frac{3}{4})$

Sumbu Simetri: $x = 1$

Direktriks: $y = \frac{5}{4}$

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(1, 1)$

Fokus: $(1, \frac{3}{4})$

Sumbu Simetri: $x = 1$

Direktriks: $y = \frac{5}{4}$

Langkah 2

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - {(0)}^{2} + 2 (0)$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = - 0 + 2 (0)$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0)$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 2.3

Nilai $y$ pada $x = 0$ adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 2.4

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Langkah 2.5

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Langkah 2.5.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 2 (- 1)$

Langkah 2.5.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 2 (- 1)$

Langkah 2.5.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 1) = - 1 + 2 (- 1)$

Langkah 2.5.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 2$

Langkah 2.5.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = - 3$

Langkah 2.5.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 2.6

Nilai $y$ pada $x = - 1$ adalah $- 3$ .

$y = - 3$

Langkah 2.7

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 2 (2)$

Langkah 2.8

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 2 (2)$

Langkah 2.8.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f (2) = - 4 + 2 (2)$

Langkah 2.8.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (2) = - 4 + 4$

Langkah 2.8.2

Tambahkan $- 4$ dan $4$ .

$f (2) = 0$

Langkah 2.8.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 2.9

Nilai $y$ pada $x = 2$ adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 2.10

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 2 (3)$

Langkah 2.11

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 2 (3)$

Langkah 2.11.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$f (3) = - 9 + 2 (3)$

Langkah 2.11.1.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f (3) = - 9 + 6$

Langkah 2.11.2

Tambahkan $- 9$ dan $6$ .

$f (3) = - 3$

Langkah 2.11.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 2.12

Nilai $y$ pada $x = 3$ adalah $- 3$ .

$y = - 3$

Langkah 2.13

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & - 3 \end{array}$

Langkah 3

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(1, 1)$

Fokus: $(1, \frac{3}{4})$

Sumbu Simetri: $x = 1$

Direktriks: $y = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & - 3 \end{array}$

Langkah 4