Kalkulus Contoh

$y = x^{2} e^{x}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $x^{2} e^{x}$ tidak terdefinisi.

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 2

Asimtot tegak terjadi pada daerah diskontinuitas tanpa batas.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Langkah 3

Evaluasi $lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{x}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali $x^{2} e^{x}$ sebagai $\frac{x^{2}}{e^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}}$

Langkah 3.2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Langkah 3.2.1.2

Limit ketika tak hingga negatif dari polinomial derajat genap yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Langkah 3.2.1.3

Karena eksponen $- x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{- x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 3.2.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 3.2.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 3.2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 3.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 3.2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Langkah 3.2.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \cdot - 1}$

Langkah 3.2.3.7

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Langkah 3.2.3.8

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{- x}}$

Langkah 3.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x}{e^{- x}}$

Langkah 3.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x}}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Langkah 3.4

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$- 2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Langkah 3.4.1.2

Limit pada tak hingga negatif dari polinomial pada derajat ganjil yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga negatif.

$- 2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Langkah 3.4.1.3

Karena eksponen $- x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{- x}$ mendekati $\infty$ .

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 3.4.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 3.4.2

Karena $\frac{- \infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 3.4.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 3.4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Langkah 3.4.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.4.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.4.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Langkah 3.4.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.4.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.4.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Langkah 3.4.3.7

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Langkah 3.4.3.8

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Langkah 3.4.4

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Langkah 3.4.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 2 lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Langkah 3.5

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 2 \cdot - 1 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Langkah 3.6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{e^{- x}}$ mendekati $0$ .

$- 2 \cdot - 1 \cdot 0$

Langkah 3.7

Kalikan $- 2 \cdot - 1 \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 \cdot 0$

Langkah 3.7.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 4

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = 0$

Langkah 5

Tidak ada asimtot miring karena pangkat dari pembilangnya lebih kecil dari atau sama dengan pangkat dari penyebutnya.

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 6

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Asimtot Datar: $y = 0$

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 7