Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{49 - x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan domain untuk $y = \sqrt{49 - x^{2}}$ sehingga daftar nilai $x$ dapat diambil untuk mancari daftar titik, yang akan membantu membuat grafik akarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Langkah 1.2.2

Atur $7 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Atur $7 + x$ sama dengan $0$ .

$7 + x = 0$

Langkah 1.2.2.2

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 7$

Langkah 1.2.3

Atur $7 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Atur $7 - x$ sama dengan $0$ .

$7 - x = 0$

Langkah 1.2.3.2

Selesaikan $7 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 7$

Langkah 1.2.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 7$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 7$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.3.1

Bagilah $- 7$ dengan $- 1$ .

$x = 7$

Langkah 1.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ benar.

$x = - 7, 7$

Langkah 1.2.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Langkah 1.2.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 10$

Langkah 1.2.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 10$ pada pertidaksamaan asal.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Langkah 1.2.6.1.3

Sisi kiri $- 51$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 1.2.6.2

Uji nilai pada interval $- 7 < x < 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 7 < x < 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 1.2.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Langkah 1.2.6.2.3

Sisi kiri $49$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 1.2.6.3

Uji nilai pada interval $x > 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 10$

Langkah 1.2.6.3.2

Ganti $x$ dengan $10$ pada pertidaksamaan asal.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Langkah 1.2.6.3.3

Sisi kiri $- 51$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 1.2.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 7$ Salah

$- 7 < x < 7$ Benar

$x > 7$ Salah

$x < - 7$ Salah

$- 7 < x < 7$ Benar

$x > 7$ Salah

Langkah 1.2.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 7 \leq x \leq 7$

Langkah 1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- 7, 7]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Notasi Interval:

$[- 7, 7]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Langkah 2

Untuk menentukan titik-titik akhir, substitusikan batas-batas nilai $x$ dari domain ke dalam $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 7$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

Langkah 2.2.2

Kurangi $7$ dengan $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 - (- 7))}$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 + 7)}$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $7$ dan $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 \cdot 14}$

Langkah 2.2.5

Kalikan $0$ dengan $14$ .

$f (- 7) = \sqrt{0}$

Langkah 2.2.6

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$f (- 7) = \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.2.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- 7) = 0$

Langkah 2.2.8

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 2.3

Ganti variabel $x$ dengan $7$ pada pernyataan tersebut.

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

Langkah 2.4

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $7$ dan $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - (7))}$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - 7)}$

Langkah 2.4.4

Kurangi $7$ dengan $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 \cdot 0}$

Langkah 2.4.5

Kalikan $14$ dengan $0$ .

$f (7) = \sqrt{0}$

Langkah 2.4.6

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$f (7) = \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (7) = 0$

Langkah 2.4.8

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3

Titik-titik akhirnya adalah $(- 7, 0), (7, 0)$ .

$(- 7, 0), (7, 0)$

Langkah 4

Pilih beberapa nilai $x$ dari domain. Ini akan lebih berguna untuk memilih nilai-nilainya sehingga berada di sebelah nilai $x$ dari titik akhir pernyataan bentuk akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai $x$ $- 5$ ke dalam $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 5, 2 \sqrt{6})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $5$ dengan $7$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 - (- 5))}$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 + 5)}$

Langkah 4.1.2.4

Tambahkan $7$ dan $5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 \cdot 12}$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$f (- 5) = \sqrt{24}$

Langkah 4.1.2.6

Tulis kembali $24$ sebagai $2^{2} \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Faktorkan $4$ dari $24$ .

$f (- 5) = \sqrt{4 (6)}$

Langkah 4.1.2.6.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (- 5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Langkah 4.1.2.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (- 5) = 2 \sqrt{6}$

Langkah 4.1.2.8

Jawaban akhirnya adalah $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai $x$ $- 3$ ke dalam $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 3, 2 \sqrt{10})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $3$ dengan $7$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 - (- 3))}$

Langkah 4.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 + 3)}$

Langkah 4.2.2.4

Tambahkan $7$ dan $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 \cdot 10}$

Langkah 4.2.2.5

Kalikan $4$ dengan $10$ .

$f (- 3) = \sqrt{40}$

Langkah 4.2.2.6

Tulis kembali $40$ sebagai $2^{2} \cdot 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.6.1

Faktorkan $4$ dari $40$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (10)}$

Langkah 4.2.2.6.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (- 3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Langkah 4.2.2.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (- 3) = 2 \sqrt{10}$

Langkah 4.2.2.8

Jawaban akhirnya adalah $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

Langkah 4.3

Substitusikan nilai $x$ $- 1$ ke dalam $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 1, 4 \sqrt{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $1$ dengan $7$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 - (- 1))}$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 + 1)}$

Langkah 4.3.2.4

Tambahkan $7$ dan $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 \cdot 8}$

Langkah 4.3.2.5

Kalikan $6$ dengan $8$ .

$f (- 1) = \sqrt{48}$

Langkah 4.3.2.6

Tulis kembali $48$ sebagai $4^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.6.1

Faktorkan $16$ dari $48$ .

$f (- 1) = \sqrt{16 (3)}$

Langkah 4.3.2.6.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$f (- 1) = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Langkah 4.3.2.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (- 1) = 4 \sqrt{3}$

Langkah 4.3.2.8

Jawaban akhirnya adalah $4 \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3}$

Langkah 4.4

Substitusikan nilai $x$ $3$ ke dalam $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(3, 2 \sqrt{10})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

Langkah 4.4.2.2

Tambahkan $7$ dan $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - (3))}$

Langkah 4.4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - 3)}$

Langkah 4.4.2.4

Kurangi $3$ dengan $7$ .

$f (3) = \sqrt{10 \cdot 4}$

Langkah 4.4.2.5

Kalikan $10$ dengan $4$ .

$f (3) = \sqrt{40}$

Langkah 4.4.2.6

Tulis kembali $40$ sebagai $2^{2} \cdot 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.6.1

Faktorkan $4$ dari $40$ .

$f (3) = \sqrt{4 (10)}$

Langkah 4.4.2.6.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Langkah 4.4.2.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (3) = 2 \sqrt{10}$

Langkah 4.4.2.8

Jawaban akhirnya adalah $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

Langkah 4.5

Substitusikan nilai $x$ $5$ ke dalam $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(5, 2 \sqrt{6})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

Langkah 4.5.2.2

Tambahkan $7$ dan $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - (5))}$

Langkah 4.5.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - 5)}$

Langkah 4.5.2.4

Kurangi $5$ dengan $7$ .

$f (5) = \sqrt{12 \cdot 2}$

Langkah 4.5.2.5

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$f (5) = \sqrt{24}$

Langkah 4.5.2.6

Tulis kembali $24$ sebagai $2^{2} \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.6.1

Faktorkan $4$ dari $24$ .

$f (5) = \sqrt{4 (6)}$

Langkah 4.5.2.6.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Langkah 4.5.2.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (5) = 2 \sqrt{6}$

Langkah 4.5.2.8

Jawaban akhirnya adalah $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

Langkah 4.6

Akar kuadrat dapat digambarkan dengan grafik menggunakan titik-titik di sekitar verteks $(- 7, 0), (7, 0), (- 5, 4.9), (- 3, 6.32), (- 1, 6.93), (1, 6.93), (3, 6.32), (5, 4.9)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 0 \\ - 5 & 4.9 \\ - 3 & 6.32 \\ - 1 & 6.93 \\ 1 & 6.93 \\ 3 & 6.32 \\ 5 & 4.9 \\ 7 & 0 \end{array}$

Langkah 5