Kalkulus Contoh

$y = 14 x - 2 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Susun kembali $14 x$ dan $- 2 x^{2}$ .

$y = - 2 x^{2} + 14 x$

Langkah 1.1.2

Selesaikan kuadrat dari $- 2 x^{2} + 14 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 2$

$b = 14$

$c = 0$

Langkah 1.1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{14}{2 \cdot - 2}$

Langkah 1.1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $14$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $14$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

Langkah 1.1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (- 2)}$

Langkah 1.1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

Langkah 1.1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{7}{- 2}$

Langkah 1.1.2.3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$d = - \frac{7}{2}$

Langkah 1.1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{14^{2}}{4 \cdot - 2}$

Langkah 1.1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1.1

Naikkan $14$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot - 2}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$e = 0 - \frac{196}{- 8}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $196$ dan $- 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $196$ .

$e = 0 - \frac{4 (49)}{- 8}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 8$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 0 - \frac{49}{- 2}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e = 0 - - \frac{49}{2}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.5

Kalikan $- - \frac{49}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{49}{2})$

Langkah 1.1.2.4.2.1.5.2

Kalikan $\frac{49}{2}$ dengan $1$ .

$e = 0 + \frac{49}{2}$

Langkah 1.1.2.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{49}{2}$ .

$e = \frac{49}{2}$

Langkah 1.1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$ .

$- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

Langkah 1.1.3

Aturlah $y$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$y = - 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

Langkah 1.2

Gunakan bentuk directrix, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = - 2$

$h = \frac{7}{2}$

$k = \frac{49}{2}$

Langkah 1.3

Karena nilai $a$ adalah negatif, maka parabola membuka ke bawah.

Membuka ke Bawah

Langkah 1.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Langkah 1.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 1.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Langkah 1.5.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{8}$

Langkah 1.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat y $k$ jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$(h, k + p)$

Langkah 1.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Langkah 1.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$x = \frac{7}{2}$

Langkah 1.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Garis arah parabola adalah garis datar yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat y $k$ dari verteks jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$y = k - p$

Langkah 1.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$y = \frac{197}{8}$

Langkah 1.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Fokus: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Sumbu Simetri: $x = \frac{7}{2}$

Direktriks: $y = \frac{197}{8}$

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Fokus: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Sumbu Simetri: $x = \frac{7}{2}$

Direktriks: $y = \frac{197}{8}$

Langkah 2

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = - 2 {(3)}^{2} + 14 (3)$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (3) = - 2 \cdot 9 + 14 (3)$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $9$ .

$f (3) = - 18 + 14 (3)$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $14$ dengan $3$ .

$f (3) = - 18 + 42$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 18$ dan $42$ .

$f (3) = 24$

Langkah 2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $24$ .

$24$

Langkah 2.3

Nilai $y$ pada $x = 3$ adalah $24$ .

$y = 24$

Langkah 2.4

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = - 2 {(2)}^{2} + 14 (2)$

Langkah 2.5

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = - 2 \cdot 4 + 14 (2)$

Langkah 2.5.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$f (2) = - 8 + 14 (2)$

Langkah 2.5.1.3

Kalikan $14$ dengan $2$ .

$f (2) = - 8 + 28$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $- 8$ dan $28$ .

$f (2) = 20$

Langkah 2.5.3

Jawaban akhirnya adalah $20$ .

$20$

Langkah 2.6

Nilai $y$ pada $x = 2$ adalah $20$ .

$y = 20$

Langkah 2.7

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f (5) = - 2 {(5)}^{2} + 14 (5)$

Langkah 2.8

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f (5) = - 2 \cdot 25 + 14 (5)$

Langkah 2.8.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $25$ .

$f (5) = - 50 + 14 (5)$

Langkah 2.8.1.3

Kalikan $14$ dengan $5$ .

$f (5) = - 50 + 70$

Langkah 2.8.2

Tambahkan $- 50$ dan $70$ .

$f (5) = 20$

Langkah 2.8.3

Jawaban akhirnya adalah $20$ .

$20$

Langkah 2.9

Nilai $y$ pada $x = 5$ adalah $20$ .

$y = 20$

Langkah 2.10

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f (6) = - 2 {(6)}^{2} + 14 (6)$

Langkah 2.11

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f (6) = - 2 \cdot 36 + 14 (6)$

Langkah 2.11.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $36$ .

$f (6) = - 72 + 14 (6)$

Langkah 2.11.1.3

Kalikan $14$ dengan $6$ .

$f (6) = - 72 + 84$

Langkah 2.11.2

Tambahkan $- 72$ dan $84$ .

$f (6) = 12$

Langkah 2.11.3

Jawaban akhirnya adalah $12$ .

$12$

Langkah 2.12

Nilai $y$ pada $x = 6$ adalah $12$ .

$y = 12$

Langkah 2.13

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

Langkah 3

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Fokus: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Sumbu Simetri: $x = \frac{7}{2}$

Direktriks: $y = \frac{197}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

Langkah 4