Kalkulus Contoh

$x = y^{2} - 5 y$

Langkah 1

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Selesaikan kuadrat dari $y^{2} - 5 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Langkah 1.1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Langkah 1.1.1.3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$d = - \frac{5}{2}$

Langkah 1.1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.1.1.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Langkah 1.1.1.4.2.2

Kurangi $\frac{25}{4}$ dengan $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Langkah 1.1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Langkah 1.1.2

Aturlah $x$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$x = {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Langkah 1.2

Gunakan bentuk directrix, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{25}{4}$

$k = \frac{5}{2}$

Langkah 1.3

Karena nilai $a$ adalah positif, maka parabola membuka ke kanan.

Membuka ke Kanan

Langkah 1.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Langkah 1.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 1.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4}$

Langkah 1.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat x $h$ jika parabola membuka ke kiri atau ke kanan.

$(h + p, k)$

Langkah 1.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 6, \frac{5}{2})$

Langkah 1.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$y = \frac{5}{2}$

Langkah 1.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Garis arah parabola adalah garis tegak yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat x $h$ dari verteks jika parabola membuka ke kiri atau ke kanan.

$x = h - p$

Langkah 1.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $h$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$x = - \frac{13}{2}$

Langkah 1.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Kanan

Verteks: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Fokus: $(- 6, \frac{5}{2})$

Sumbu Simetri: $y = \frac{5}{2}$

Direktriks: $x = - \frac{13}{2}$

Arah: Membuka ke Kanan

Verteks: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Fokus: $(- 6, \frac{5}{2})$

Sumbu Simetri: $y = \frac{5}{2}$

Direktriks: $x = - \frac{13}{2}$

Langkah 2

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan nilai $x$ $- 5.25$ ke dalam $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 5.25, 3.5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5.25$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 21}}{2}$

Langkah 2.1.2.1.2

Kurangi $21$ dengan $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{4}}{2}$

Langkah 2.1.2.1.3

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Langkah 2.1.2.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- 5.25) = \frac{5 + 2}{2}$

Langkah 2.1.2.1.5

Tambahkan $5$ dan $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Langkah 2.1.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $7$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Tulis kembali $7$ sebagai $1 (7)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (7)}{2}$

Langkah 2.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.2.1

Tulis kembali $2$ sebagai $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Langkah 2.1.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Langkah 2.1.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Langkah 2.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{7}{2}$

Langkah 2.1.3

Konversikan $\frac{7}{2}$ ke desimal.

$= 3.5$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai $x$ $- 5.25$ ke dalam $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 5.25, 1.5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5.25$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 21}}{2}$

Langkah 2.2.2.1.2

Kurangi $21$ dengan $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{4}}{2}$

Langkah 2.2.2.1.3

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Langkah 2.2.2.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- 5.25) = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.2.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - 2}{2}$

Langkah 2.2.2.1.6

Kurangi $2$ dengan $5$ .

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Langkah 2.2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Tulis kembali $3$ sebagai $1 (3)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (3)}{2}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.2.1

Tulis kembali $2$ sebagai $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Langkah 2.2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Langkah 2.2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Langkah 2.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Langkah 2.2.3

Konversikan $\frac{3}{2}$ ke desimal.

$= 1.5$

Langkah 2.3

Substitusikan nilai $x$ $- 4.25$ ke dalam $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 4.25, \frac{5 + \sqrt{8}}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4.25$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 17}}{2}$

Langkah 2.3.2.1.2

Kurangi $17$ dengan $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Langkah 2.3.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5 + \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Langkah 2.4

Substitusikan nilai $x$ $- 4.25$ ke dalam $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 4.25, \frac{5 - \sqrt{8}}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4.25$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 17}}{2}$

Langkah 2.4.2.1.2

Kurangi $17$ dengan $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Langkah 2.4.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5 - \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Langkah 2.5

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Langkah 3

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Kanan

Verteks: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Fokus: $(- 6, \frac{5}{2})$

Sumbu Simetri: $y = \frac{5}{2}$

Direktriks: $x = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Langkah 4