Kalkulus Contoh

f (x) = ln (x^{2} - 2 x + 5)

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 5)$

Langkah 1

Tentukan asimtot.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur argumen logaritma agar sama dengan nol.

x^{2} - 2 x + 5 = 0

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.2.2

Substitusikan nilai-nilai

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 2

$b = - 2$ , dan

c = 5

$c = 5$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan

x

$x$ .

\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Naikkan

- 2

$- 2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.1.2

Kalikan

- 4 \cdot 1 \cdot 5

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.2.1

Kalikan

- 4

$- 4$ dengan

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.1.2.2

Kalikan

- 4

$- 4$ dengan

5

$5$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.1.3

Kurangi

20

$20$ dengan

4

$4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.1.4

Tulis kembali

- 16

$- 16$ sebagai

- 1 (16)

$- 1 (16)$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.1.5

Tulis kembali

\sqrt{- 1 (16)}

$\sqrt{- 1 (16)}$ sebagai

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.1.6

Tulis kembali

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ sebagai

i

$i$ .

x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.1.7

Tulis kembali

16

$16$ sebagai

4^{2}

$4^{2}$ .

x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.1.9

Pindahkan

4

$4$ ke sebelah kiri

i

$i$ .

x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2

Kalikan

2

$2$ dengan

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 4 i}{2}

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan

\frac{2 \pm 4 i}{2}

$\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

x = 1 \pm 2 i

$x = 1 \pm 2 i$

x = 1 \pm 2 i

$x = 1 \pm 2 i$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian

+

$+$ dari

\pm

$\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1

Naikkan

- 2

$- 2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.1.2

Kalikan

- 4 \cdot 1 \cdot 5

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.2.1

Kalikan

- 4

$- 4$ dengan

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.1.2.2

Kalikan

- 4

$- 4$ dengan

5

$5$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.1.3

Kurangi

20

$20$ dengan

4

$4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.1.4

Tulis kembali

- 16

$- 16$ sebagai

- 1 (16)

$- 1 (16)$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.1.5

Tulis kembali

\sqrt{- 1 (16)}

$\sqrt{- 1 (16)}$ sebagai

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.1.6

Tulis kembali

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ sebagai

i

$i$ .

x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.1.7

Tulis kembali

16

$16$ sebagai

4^{2}

$4^{2}$ .

x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.1.9

Pindahkan

4

$4$ ke sebelah kiri

i

$i$ .

x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.2

Kalikan

2

$2$ dengan

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 4 i}{2}

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Langkah 1.2.4.3

Sederhanakan

\frac{2 \pm 4 i}{2}

$\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

x = 1 \pm 2 i

$x = 1 \pm 2 i$

Langkah 1.2.4.4

Ubah

\pm

$\pm$ menjadi

+

$+$ .

x = 1 + 2 i

$x = 1 + 2 i$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian

$-$ dari

$\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Naikkan

$- 2$ menjadi pangkat

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.1.2

Kalikan

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.2.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.1.2.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.1.3

Kurangi

$20$ dengan

$4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.1.4

Tulis kembali

$- 16$ sebagai

$- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.1.5

Tulis kembali

$\sqrt{- 1 (16)}$ sebagai

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.1.6

Tulis kembali

$\sqrt{- 1}$ sebagai

$i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.1.7

Tulis kembali

$16$ sebagai

$4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.1.9

Pindahkan

$4$ ke sebelah kiri

$i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Langkah 1.2.5.3

Sederhanakan

$\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Langkah 1.2.5.4

Ubah

$\pm$ menjadi

$-$ .

$x = 1 - 2 i$

Langkah 1.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Langkah 1.3

Asimtot tegak terjadi pada

$x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$ .

Asimtot Tegak:

$x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$

Asimtot Tegak:

$x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$

Langkah 2

Tentukan titik pada

$x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 5)$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \ln (1 - 2 \cdot 1 + 5)$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan

$- 2$ dengan

$1$ .

$f (1) = \ln (1 - 2 + 5)$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kurangi

$2$ dengan

$1$ .

$f (1) = \ln (- 1 + 5)$

Langkah 2.2.2.2

Tambahkan

$- 1$ dan

$5$ .

$f (1) = \ln (4)$

Langkah 2.2.3

Jawaban akhirnya adalah

$\ln (4)$ .

$\ln (4)$

Langkah 2.3

Konversikan

$\ln (4)$ ke desimal.

$y = 1.38629436$

Langkah 3

Tentukan titik pada

$x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 5)$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Naikkan

$2$ menjadi pangkat

$2$ .

$f (2) = \ln (4 - 2 \cdot 2 + 5)$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan

$- 2$ dengan

$2$ .

$f (2) = \ln (4 - 4 + 5)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kurangi

$4$ dengan

$4$ .

$f (2) = \ln (0 + 5)$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan

$0$ dan

$5$ .

$f (2) = \ln (5)$

Langkah 3.2.3

Jawaban akhirnya adalah

$\ln (5)$ .

$\ln (5)$

Langkah 3.3

Konversikan

$\ln (5)$ ke desimal.

$y = 1.60943791$

Langkah 4

Tentukan titik pada

$x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 5)$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan

$3$ menjadi pangkat

$2$ .

$f (3) = \ln (9 - 2 \cdot 3 + 5)$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan

$- 2$ dengan

$3$ .

$f (3) = \ln (9 - 6 + 5)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi

$6$ dengan

$9$ .

$f (3) = \ln (3 + 5)$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan

$3$ dan

$5$ .

$f (3) = \ln (8)$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah

$\ln (8)$ .

$\ln (8)$

Langkah 4.3

Konversikan

$\ln (8)$ ke desimal.

$y = 2.07944154$

Langkah 5

Fungsi logaritma dapat digambarkan menggunakan asismtot tegak pada

$x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$ dan titik-titik

$(1, 1.38629436), (2, 1.60943791), (3, 2.07944154)$ .

Asimtot Tegak:

$x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.386 \\ 2 & 1.609 \\ 3 & 2.079 \end{array}$

Langkah 6