Kalkulus Contoh

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan domain untuk $y = x \sqrt{16 - x^{2}}$ sehingga daftar nilai $x$ dapat diambil untuk mancari daftar titik, yang akan membantu membuat grafik akarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Langkah 1.2.2

Atur $4 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Atur $4 + x$ sama dengan $0$ .

$4 + x = 0$

Langkah 1.2.2.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 1.2.3

Atur $4 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Atur $4 - x$ sama dengan $0$ .

$4 - x = 0$

Langkah 1.2.3.2

Selesaikan $4 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 4$

Langkah 1.2.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = 4$

Langkah 1.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ benar.

$x = - 4, 4$

Langkah 1.2.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Langkah 1.2.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 1.2.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Langkah 1.2.6.1.3

Sisi kiri $- 20$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 1.2.6.2

Uji nilai pada interval $- 4 < x < 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 4 < x < 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 1.2.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Langkah 1.2.6.2.3

Sisi kiri $16$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 1.2.6.3

Uji nilai pada interval $x > 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 1.2.6.3.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Langkah 1.2.6.3.3

Sisi kiri $- 20$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 1.2.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 4$ Salah

$- 4 < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

$x < - 4$ Salah

$- 4 < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

Langkah 1.2.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 4 \leq x \leq 4$

Langkah 1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- 4, 4]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Notasi Interval:

$[- 4, 4]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Langkah 2

Untuk menentukan titik-titik akhir, substitusikan batas-batas nilai $x$ dari domain ke dalam $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 4) = - 4 \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (- 4) = - 4 \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Langkah 2.2.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 (4 + 4)}$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 \cdot 8}$

Langkah 2.2.5

Kalikan $0$ dengan $8$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0}$

Langkah 2.2.6

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.2.7

Kalikan dengan nol.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- 4) = - 4 \cdot 0$

Langkah 2.2.7.2

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$f (- 4) = 0$

Langkah 2.2.8

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 2.3

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f (4) = 4 \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Langkah 2.4

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (4) = 4 \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 (4 - (4))}$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 (4 - 4)}$

Langkah 2.4.4

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 \cdot 0}$

Langkah 2.4.5

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$f (4) = 4 \sqrt{0}$

Langkah 2.4.6

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$f (4) = 4 \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.7

Kalikan dengan nol.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (4) = 4 \cdot 0$

Langkah 2.4.7.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$f (4) = 0$

Langkah 2.4.8

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3

Titik-titik akhirnya adalah $(- 4, 0), (4, 0)$ .

$(- 4, 0), (4, 0)$

Langkah 4

Pilih beberapa nilai $x$ dari domain. Ini akan lebih berguna untuk memilih nilai-nilainya sehingga berada di sebelah nilai $x$ dari titik akhir pernyataan bentuk akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai $x$ $- 3$ ke dalam $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 3, - 3 \sqrt{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 3) = - 3 \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (- 3) = - 3 \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $4 - (- 3)$ dengan $1$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{4 - (- 3)}$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{4 + 3}$

Langkah 4.1.2.5

Tambahkan $4$ dan $3$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{7}$

Langkah 4.1.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- 3 \sqrt{7}$ .

$y = - 3 \sqrt{7}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai $x$ $- 2$ ke dalam $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 2, - 4 \sqrt{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

Langkah 4.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 (4 + 2)}$

Langkah 4.2.2.4

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 6}$

Langkah 4.2.2.5

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{12}$

Langkah 4.2.2.6

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.6.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{4 (3)}$

Langkah 4.2.2.6.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Langkah 4.2.2.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (- 2) = - 2 (2 \sqrt{3})$

Langkah 4.2.2.8

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = - 4 \sqrt{3}$

Langkah 4.2.2.9

Jawaban akhirnya adalah $- 4 \sqrt{3}$ .

$y = - 4 \sqrt{3}$

Langkah 4.3

Substitusikan nilai $x$ $- 1$ ke dalam $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 1, - \sqrt{15})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 (4 + 1)}$

Langkah 4.3.2.4

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 \cdot 5}$

Langkah 4.3.2.5

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{15}$

Langkah 4.3.2.6

Tulis kembali $- 1 \sqrt{15}$ sebagai $- \sqrt{15}$ .

$f (- 1) = - \sqrt{15}$

Langkah 4.3.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \sqrt{15}$ .

$y = - \sqrt{15}$

Langkah 4.4

Substitusikan nilai $x$ $0$ ke dalam $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(0, 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 0 \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (0) = 0 \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Langkah 4.4.2.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 (4 - (0))}$

Langkah 4.4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 (4 + 0)}$

Langkah 4.4.2.4

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 \cdot 4}$

Langkah 4.4.2.5

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16}$

Langkah 4.4.2.6

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4^{2}}$

Langkah 4.4.2.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (0) = 0 \cdot 4$

Langkah 4.4.2.8

Kalikan $0$ dengan $4$ .

$f (0) = 0$

Langkah 4.4.2.9

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 4.5

Substitusikan nilai $x$ $1$ ke dalam $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(1, \sqrt{15})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = 1 \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (1) = 1 \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Langkah 4.5.2.2

Kalikan $\sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$ dengan $1$ .

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Langkah 4.5.2.3

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

Langkah 4.5.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

Langkah 4.5.2.5

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

Langkah 4.5.2.6

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$f (1) = \sqrt{15}$

Langkah 4.5.2.7

Jawaban akhirnya adalah $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Langkah 4.6

Substitusikan nilai $x$ $2$ ke dalam $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(2, 4 \sqrt{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = 2 \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (2) = 2 \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Langkah 4.6.2.2

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 (4 - (2))}$

Langkah 4.6.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 (4 - 2)}$

Langkah 4.6.2.4

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 \cdot 2}$

Langkah 4.6.2.5

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{12}$

Langkah 4.6.2.6

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.6.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$f (2) = 2 \sqrt{4 (3)}$

Langkah 4.6.2.6.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (2) = 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Langkah 4.6.2.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (2) = 2 (2 \sqrt{3})$

Langkah 4.6.2.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (2) = 4 \sqrt{3}$

Langkah 4.6.2.9

Jawaban akhirnya adalah $4 \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3}$

Langkah 4.7

Substitusikan nilai $x$ $3$ ke dalam $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(3, 3 \sqrt{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = 3 \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Langkah 4.7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (3) = 3 \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Langkah 4.7.2.2

Tambahkan $4$ dan $3$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 (4 - (3))}$

Langkah 4.7.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 (4 - 3)}$

Langkah 4.7.2.4

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 \cdot 1}$

Langkah 4.7.2.5

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7}$

Langkah 4.7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $3 \sqrt{7}$ .

$y = 3 \sqrt{7}$

Langkah 4.8

Akar kuadrat dapat digambarkan dengan grafik menggunakan titik-titik di sekitar verteks $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, - 7.94), (- 2, - 6.93), (- 1, - 3.87), (0, 0), (1, 3.87), (2, 6.93), (3, 7.94)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - 7.94 \\ - 2 & - 6.93 \\ - 1 & - 3.87 \\ 0 & 0 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 6.93 \\ 3 & 7.94 \\ 4 & 0 \end{array}$

Langkah 5