Kalkulus Contoh

$2 x^{2} + y^{2} = 12$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku dengan $12$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{2 x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = \sqrt{6}$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\sqrt{12 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{12 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.3.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{12 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.3.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{12 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{12 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{12 - 6^{1}}$

Langkah 5.3.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{12 - 1 \cdot 6}$

Langkah 5.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$\sqrt{12 - 6}$

Langkah 5.3.5.2

Kurangi $6$ dengan $12$ .

$\sqrt{6}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + 2 \sqrt{3})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(0, 2 \sqrt{3})$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (2 \sqrt{3}))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(0, - 2 \sqrt{3})$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + \sqrt{6})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(0, \sqrt{6})$

Langkah 7.4

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (\sqrt{6}))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(0, - \sqrt{6})$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{6})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.4

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.5

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{12 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{12 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{12 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{12 - 6^{1}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.5.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 6}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$\frac{\sqrt{12 - 6}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.7

Kurangi $6$ dengan $12$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\sqrt{6}$ dan $\sqrt{3}$ ke dalam akar tunggal.

$\frac{\sqrt{\frac{6}{3}}}{2}$

Langkah 8.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3}}}{2}$

Langkah 8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}{2}$

Langkah 8.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}{2}$

Langkah 8.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{\frac{2}{1}}}{2}$

Langkah 8.3.3.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{6})$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 10